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几何证明选讲知识梳理1．1几个基本定理(1)若点D在直线AB上，点C是直线AB外任意一点，则 .(2)若 ,则.反之，若，并且A、X在直线BC同侧，则.(3)（平行截割定理）两直线分别与3条平行线顺次交于点A、B、C和X、Y、Z，则 .(4)(共边定理)若直线PQ、AB交于M，则.(5)（共角定理）若 与 相等或互补，则. (6)（射影定理）设CD是Rt斜边AB上的高，则有：①;②③ .1 ．2相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a．两角对应相等的两个三角形相似．b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．1 ．3圆的切线（1）（切线特征定理）直线L是的切线的充要条件，是它经过上一点D并且和过点D的半径OD垂直。(2) （切线长定理）从圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等；该点到圆心的连线，平分这两条的夹角.(3)（球的切线特征定理）直线L是球O的切线的充要条件，是它经过球O上点D并且和过点D的球半径OD垂直.（4）（球的切线长定理）从球外一点作球的若干条切线，其切线长相等；该点到求心的连线和每条切线的夹角相等.（5）（球的切平面特征定理）平面p是球O的切平面的充要条件，是它经过球O上一点D并且和过点D的球半径OD垂直。（6）（球的切线和切平面之间的关系）球的切平面内的每一条过切点A的直线，都是球的切线；反过来，球的每一条过点A的切线，都在与球相切于点A的切平面内.1 ．4 圆周角定理(1)（弦切角定理）：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．弦切角的度数，等于所夹狐的度数的一半.(2)（圆周角定理）：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．(3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．（4）四边形内接于圆的充要条件是其对角互补.（5）四边形内接于圆的充要条件是其外角都等于其内对角.1 ．5 圆幂定理(1)（圆幂定理）过定点的直线与定圆交于两点。则此定点到两点距离的乘积等于它到此定圆的幂的绝对值.(2)（相交弦定理）圆的两弦AB、CD相交于P，则有 .(3)（切割线定理）自圆外一点P作圆的切线PC，又作圆的割线与圆交于A、B，则有 .(4)（割线定理）从圆外一点P引圆的两条割线，分别与圆交于A、B和C、D.则.一、平行截割定理与相似三角形考向一　平行截割定理的应用【例1】在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若＝，则EF的长为________．【训练1】在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．考向二　相似三角形的判定和性质的应用【例2】已知，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足．求证：BC2＝2CD·AC.【训练2】如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF＝________. 考向三　直角三角形射影定理的应用【例3】已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.【训练3】 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为________．二、圆周角定理与圆的切线考向一　圆周角的计算与证明【例1】如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．考向二　弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________． 【训练2】如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.三、圆幂定理与圆内接四边形考向一　相交弦定理的应用【例1】如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________． 【训练1】如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝________. 考向二　切割线定理的应用【例2】如图所示