矩阵的分解分解.ppt

矩阵的分解及其应用 内容简介 矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用 .矩阵分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下： （1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩及其特征值和特征向量的等； （2）第二章的主要内容是矩阵的三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解的具体方法； （3）第三章的主要内容是第二章中研究过的四种矩阵分解方法的具体应用. 第一章 矩阵 （1）矩阵的概念 （2）矩阵运算 （3）矩阵的初等行变换与矩阵的秩 （4）逆矩阵的概念 第二章 矩阵的分解 矩阵的三角分解 定义2.1.1 如果方阵 可分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵 的乘积，则称 可作三角分解或 分解.如果 是单位下三角矩阵， 为上三角矩阵，此时的三角分解为杜利特（Doolittle）分解；若 是下三角矩阵，而 是单位上三角矩阵，则称三角分解为克劳特（Crout）分解. 定理2.1.2设 为 阶方阵，则 可以惟一地分解为 的充分必要条件是 的前 个顺序主子式 .其中 分别是单位下、上三角矩阵， 是对角矩阵 , 矩阵的QR分解 定义2.2.1 如果复（实）矩阵 可分解成一个酉（正交）矩阵 与一个复（实）的上三角矩阵 的乘积，即 则称上式为矩阵 的一个 分解. 定理 2.2.1 任何实的非奇异 阶矩阵 可以分解为正交矩阵 和上三角矩阵 的乘积，且除去相差一对角元素之绝对值全等于1的对角阵因子 外，分解式 是惟一的. 矩阵QR分解的求法 （1）Schmidt正交化法 （2）用初等旋转矩阵左乘矩阵 （3）用初等反射矩阵左乘矩阵 矩阵的满秩分解 　　 定理 2.2.4设 矩阵 ， .如果存在一个列满秩矩阵 与一个行满秩矩阵 使得 则称上式为矩阵 的一个满秩分解. 满秩分解的步骤 用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解的步骤： （1）对 施行初等行变化为行最简形 ，得矩阵 ； （2）若 中的 列依次是单位矩阵 的第 列，则取 ； （3）最后得 . 矩阵的奇异值分解 定义 2.2.5 设 ， 的特征值为 　　　 则称 为 的奇异值；当 为零矩阵时，它的奇异值都是0. 奇异值分解的步骤 （1）求 的特征值 ，并求其对应的特征向量 ，将其单位化为 从而得正交矩阵 ； （2）求 的秩 ，奇异值 及 （3）计算 ，从而得正交矩阵 ； 　 (4)的奇异值分解为 矩阵分解的应用 例1 求矩阵 　　　 的 分解与 分解. 　 解：因为 ，所以矩阵 的 与 分解存在.令 于是得到 从而求出 的 分解及 分解分别 例5 用初等反射矩阵求矩阵 的 分解. 　　　 解：对 的第一列，构造初等反射矩阵如下： 令 ，则 对 的第1列，构造初等旋转矩阵如下： 令 ，则 最后，取