[八上勾股定理及其逆定理的复习与巩固1.docVIP

勾股定理单元复习与巩固知识网络　　　　　目标认知学习目标：　　1、了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；　　2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；　　3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．重点：　　勾股定理及其逆定理的应用难点：　　勾股定理及其逆定理的应用知识要点梳理知识点一：勾股定理　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）　　要点诠释：　　勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：　　（1）已知直角三角形的两边求第三边　　（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边　　（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理　　如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。　　要点诠释：　　用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：　　（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；　　（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形　 　　　（若c2a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系　　区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；　　联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。知识点四：互逆命题的概念　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导　　1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。　　2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。　　3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错　 　　误。　　4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直　 　　角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．　　5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加　 　　深对“数形结合”的理解． 经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法　　1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。　　思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。　　解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：　　　　　 （3x）2+（4x）2＝202　　　　　 化简得x2＝16；　　　　　 ∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96　　总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。　　举一反三　　【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。　　【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D　　　　　　则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）　　　　　　∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）　　　　　　∴BD＝1　　　　　　在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3　　　　　　∴AD＝　　　　　　S△ABC＝BC·AD＝　　注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。　　【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。　　【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：　　　　　　　　　　　　由（1）得：x+y＝7，　　　　　　（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3)　　　　　　(3)－(2)，得：xy＝12　　　　　　∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）　　【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。　　思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。　　解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：　　　　（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2　　　　化简得：n2＝4　　　　∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－10，∴n＝2　　总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪