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欧拉定理 目录[隐藏] 欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理： 2、平面几何里的欧拉定理： 欧拉公式 认识欧拉 欧拉定理的意义 欧拉定理的证明 欧拉定理的运用方法 使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数 欧拉公式 欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理： 2、平面几何里的欧拉定理： 欧拉公式 认识欧拉 欧拉定理的意义 欧拉定理的证明 欧拉定理的运用方法 使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数 欧拉公式 欧拉定理 　　 1、初等数论中的欧拉定理： 　　　对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 　　证明： 　　首先证明下面这个命题： 　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 　　则S = Zn 　　1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 　　任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 　　2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 　　则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 　　所以，很明显，S=Zn 　　既然这样，那么 　　（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) 　　= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) 　　= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　考虑上面等式左边和右边 　　左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 　　右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： 　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 　　费马定理: 　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 　　证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理： 　　　（1） (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr． 　　证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心． 　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ETH;BAC，故D为弧BC的中点． 　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径． 　　由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明） 　　但DB=DI（可连BI，证明ETH;DBI=ETH;DIB得）， 　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可． 　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证． 　　（2）四边形ABCD的两条对角线AC、BD的中点分别为M、N,则：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2. 　　证明：如右上图，连接BD、BM，由中线公式有AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2).DA^2+CD^2=2(DM^2+AM^2,又BM^2+DM^2=2(BN^2+MN^2),4AM^2=AC^2, 4BN^2=BD^2,故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(BM^2+DM^2)+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2 　　注：当A、B、C、D为空间四点时，结论依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2,此结论为第四届美国数学奥林匹克试题 　　 欧拉公式 　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 　　V+F-E=2 　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 认识欧拉 　　欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。