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概率论与数理统计总复习 概率论的基本概念 事件的关系及运算 互不相容事件： 即A,B不能同时发生。 对立事件：且 即 差事件： 即 发生但不发生的事件 切记： 概率的性质 单调性：若，则 加法定理： 例1 设 ，求。 解： （） 故 由此 （） 注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。 条件概率与三个重要公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式（求事后概率） 例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。 解：设Ai——第2次摸出i个新球(i=0,1,2), B——第3次摸出两个新球 ∵ A0，A1，A2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中 故 事件的独立性 A与B独立→P(AB)=P(A)P(B) → P(B/A)= P(B) A与B互不相容→ AB=φ→ P(A∪B)=P(A)+P(B) 注：n（2）个事件两两独立与相互独立的区别！ 例3若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则P(A)P(B)=____ 第二、三章 随机变量及其分布 1. 5中常见分布及其对应模型和相互关系； 2. 联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系； 3. 随机变量落在某区间（域）的概率 随机变量函数的分布 公式法 分布函数法 注意画图分段讨论 随机变量的独立性 若r.v X、Y相互独立 试考虑其它等价条件？ 注：若r.v X、Y相互独立 反之不成立。 见习题四 21 例4 设X,Y联合概率密度如下，问它们是否相互独立？ 解：X,Y的边缘概率密度为 同理 显然 故不相互独立 设随机变量X与Y相互独立, 其概率密度分别为 求随机变量Z=X+Y的概率密度函数fZ(z). 解 其中D如图，则 第四章 随机变脸的数字特征 1. 期望与方差的意义 期望：随机变量取值的集中点； 方差：随机变量取值离集中点的偏离程度 2. 熟记5种常见分布的期望与方差 3. 随机变量的函数的期望（定理4.1.1，定理4.1.2） 4. 利用期望与方差的性质求期望与方差（涉及随机变量的分解） 民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车，如果到达某一站时无顾客下车，则不停车，设随机变量X表示停车次数，假定每个乘客在各站下车都是等可能的，求平均停车次数。 解：设为汽车在第站停车次数，则 因每个乘客在每站下车等可能，故 所以， 而 故 5.协方差的计算与相关系数的实际意义 1）随机变量相互独立则他们不相关 2）对二维正态随机变量，不相关等价于相互独立 例，随机变量X, Y均是正态随机变量，他们不相关，问 他们时候独立。 6．多维正态随机变量的性质(P118) 解 令 U=X+Y, V=X－Y (1) E(U)= E(X)+E(Y)=3μ； D(U)= D(X)+D (Y)=2σ2； E(V)= E(X ) － E(Y )=μ； D(V)= D(X ) + D(Y )=2σ2 故 （2）E[(X+Y) (X－Y)]= E(X2 )－E(Y2 ) = D(X) +E(X ) 2 －D(Y)－E(Y )2 = 3μ2 因为Ｘ,Ｙ是相互独立的正态分布，所以(X ,Y )是二维正态分布，从而(U,V)也是二维正态分布. 由二维正态分布的性质和(2)，可知X+Y与X-Y相互独立． 例（习题四，21）设随机变量，设，试求 Z的数学期望与方差； X与Z的相关系数； 问X与Z是否相互独立。 解：（1） （2） 而 故 （3）因（X,Y）是二维正态随机变量，X, Z均是X,Y的线性组合，故(X,Z)也是二维正态随机变量，而他们不相关 故独立。 第五章 1. 切比雪夫不等式： 注：切比雪夫不等式只能粗略估计概率，一般除题目特殊说明不能使用。 2.中心极限定理 注意是极限运算，要注意打不等号 例 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收.问至少检查多少个产品, 能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9 解 设检查的产品数为 n