(2001年普通高等学校春季招生考试数学试题及答案.docVIP

2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷) 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是 ( ) (A) 32 (B) 31 (C) 16 (D) 15 (2) 函数f (x ) = ax(a 0且a ≠ 1)对于任意的实数x，y都有 ( ) (A) f (xy) = f (x) f (y) (B) f (xy) = f (x) + f (y) (C) f (x + y) = f (x) f (y) (D) f (x + y) = f (x) + f (y) (3) ( ) (A) 0 (B) 2 (C) (D) (4) 函数的反函数是 ( ) (A) y = x2－1 (－1≤x≤0) (B) y = x2－1 (0≤x≤1) (C) y = 1－x2 (x≤0) (D) y = 1－x2 (0≤x≤1) (5) 极坐标系中，圆的圆心的坐标是 ( ) (A) (B) (C) (D) (6) 设动点P在直线x = 1上，O为坐标原点. 以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是 ( ) (A) 圆 (B) 两条平行直线 (C) 抛物线 (D) 双曲线 (7) 已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于 ( ) (A) (B) 8 (C) 18 (D) (8) 若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (9) 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° (10) 若实数a，b满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是 ( ) (A) 18 (B) 6 (C) (D) (11) 右图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ① BM与ED平行 ② CN与BE是异面直线 ③ CN与BM成60o角 ④ DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 ( ) (A) ①②③ (B) ②④ (C) ③④ (D) ②③④ (12) 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足 (n=1，2，……，12)． 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( ) (A) 5月、6月 (B) 6月、7月 (C) 7月、8月 (D) 8月、9月 第Ⅱ卷 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. (13) 已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于___________ (14) 椭圆x2 + 4y2 = 4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________ (15) 已知(、、均为锐角)，那么coscoscos的最大值等于______________ (16) 已知m、n是直线，、、是平面，给出下列命题：① 若⊥，∩= m，n⊥m，则n⊥或n⊥；② 若∥，∩= m，∩= n，则m∥n；③ 若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；④ 若∩= m，n∥m；且，，则n∥且n∥.其中正确的命题的序号是______________ (注：把你认为正确的命题的序号都填上) 三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分)设函数，求f ( x )的单调区间，并证明f ( x )在其单调区间上的单 调性. (18) (本小题满分12分)已知z7=1(z∈C且z≠1). (Ⅰ)证明 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 = 0； (Ⅱ)设z的辐角为，求cos+cos2+cos4的值. (19) (本小题满分12分) 已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB = a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC. (Ⅰ)证明∠MDC是二面角M－AB－C的平面角； (Ⅱ)当∠MDC = ∠CVN时，证明VC⊥平面AMB； (Ⅲ)若∠MDC =∠CVN =θ()，求四面体M