(1996年全国高中数学联赛试题及解答.docVIP

1996年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 (10月13日上午8：009：20) (本题满分36分，每题6分) 1． x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 2． a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 3． n,使+是整数的质数p( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 4． x∈(－，0),以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( ) (A)α3α2α1 (B)α1α3α2 (C)α3α1α2 (D)α2α3α1 5． [1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4++ (B) 4－+ (C) 1－+ (D)以上答案都不对 6． 8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空题(本题满分54分，每小题9分) 1． x|－1≤log10－，x∈N*}的真子集的个数是 ． 2． z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______． 3． C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______． 4． 2，则最远的两顶点间的距离是________． 5． _______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．) 6． (199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________． 第二试 一、（本题满分25分）设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn }满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，…)．求数列{bn }的前n项和． 二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有 （x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2． 35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。 四、（本题满分35分）有n(n≥6)个人聚会，已知： （1）每人至少同其中个人互相认识； （2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识． 证明：这n个人中必有三人两两认识． 1996年全国高中数学联赛 一、选择题(本题满分36分，每题6分) 1． x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，?8y2－20y+8=0，?y=2或，相应的，x=0，或x=±． 此三点连成一个正三角形．选C． 2． an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 解：πn=1536n×(－)，故π110，π9，π12，π130．作商比较： 又，=15363?()66－361，=1536?()78－661．故选C． 3． n,使+是整数的质数( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个