(1993年全国高中数学联赛试题及解答.docVIP

1993年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 一、选择题(每小题5分，共30分) 1M={(x，y)| |tan?y|+sin2?x0}，N={(x，y)|x2+y22}，则M∩N的元素个数是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2．已知f(x)=asinx+b+4(a，b)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）(A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随a，b3．集合A，BA∪B={a1，a2，a3}A?B时，(A，B)(B，A)(A，B) （A）8 （B）9 （C）26 （D）274．若直线x=被曲线C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( ) (A) (B) (C) (D)? 5．在△ABC中，角A，B，Ca，b，cc?a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是( ) (A)1 (B) (C) (D)?1 6．设m，ni为虚数单位，z?C，则方程|z+ni|+|z?mi|=n与|z+ni|?|z?mi|=?m在同一复平面内的图形(F1，F2)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1(1?i)x2+(?+i)x+(1+i?)=0(i为虚数单位，??R)?的取值范围为________． 2．实数x，y4x2?5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=_______． 3．若z?C，arg(z2?4)= ，arg(z2+4)= z的值是________. 4．整数的末两位数是_______. 5．设任意实数x0x1x2x30，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，则k的最大值是_______. 6．三位数(100，101，?，999)900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 三、（本题满分20分） S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D?，则D?为三棱锥S－ABC的外接球球心． 四、（本题满分20分） 0ab，过两定点A(a，0)B(b，0)l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹． 五、（本题满分20分） a0，a1，a2，…，an－=2an－1，(n≥2) 且a0=a1=1，{an}的通项公式． 第二试 一、（35分） 设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有?D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4二、（35分） 设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1,A2,?,Am两两互不包含． 试证：(1) 1； (2) Cm2．其中|Ai|表示Ai所含元素的个数，C表示n个不同元素取|Ai|个的组合数．三、（35分） 水平直线m通过圆O的中心，直线l?m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆 O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB?CR+BC?AP=AC?BQ；(2)l与圆O相交时，AB?CR+BC?AP＜AC?BQ；(3)l与圆O相离时，AB?CR+BC?AP＞AC?BQ. 1993一、选择题(每小题5分，共30分) 1M={(x，y)| |tan?y|+sin2?x0}，N={(x，y)|x2+y22}，则M∩N的元素个数是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)9 解：tan?y=0，y=k(k∈Z)，sin2?x=0，x=m(m∈Z)，即圆x2+y2=2及圆内的整点数．共9个．选D． 2．已知f(x)=asinx+b+4(a，b)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）(A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随a，blglog310=m，