《恒等变换1.docVIP

恒 等 变 换 常用数学解题方法是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是解决数学问题的一种工具。不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以用不同的方法，同时还依赖于已有知识的掌握程度、记忆程度和思维的灵活性、创造性。从这一意义上说，掌握一些特殊的解题方法和技能技巧，常常能缩短思考过程，尽快谋取最优解题方法，在解决较复杂的问题中应把各种思想方法结合使用。 我们不仅要学会各种解题方法，还要知道题是用什么方法去解的，如2003年杭州市中考中出现了这样一道题：求函数的最小值，较合适的解题方法应该是　　　　　　　 法，当然还可以用　　　　　　　法等方法解决。 等式 用等号连接的两个解析式叫做等式。 等式两边的解析式的定义域的公共部分（交集），称为此等式的定义域。 　 等式是命题，如果等号两边的解析式对于其定义域内所有允许值都有相等的数值，叫做这两个解析式恒等，这样的等式叫做恒等式，如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值中，只有某些数才有相等的数值，这样的等式叫做条件等式。如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值，它们的值都不相等，这样的等式叫做矛盾等式。例如，３＋５＝８等都是恒等式；ｘ＋３＝１０是条件等式；是矛盾等式，有时为了强调一个等式是恒等式，常用代替。 恒等变换 把一个解析式换成另一个与它恒等的解析式，这种变换叫做恒等变换或叫做恒等变形。 三.多项式恒等定理 1.多项式恒等于零的定理：给定数域上标准形式的多项式，如果对自变量的任意数，该多项式的值总等于零，那么它的所有系数都等于零。 2.两个标准形式的多项式恒等的充要条件是同类项的系数都对应相等。 四.解题方法 ( 一 ) 配方法 在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式，从而再利用诸如完全平方项非负性质，达到增加题目的条件等，从而达到解决数学问题的目的，配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或化简、解方程及函数的最值等方面。 二次三项式配方式为。 求函数的最小值。 已知，求的值。 已知： ，求的值。 当ａ取遍０到５的所有的实数时，满足的整数ｂ的个数是　　　　 若关于ｘ的方程的两个实根的立方和是这两个实根平方和的３倍，求ｃ的值。 ( 二 ) 因式分解法 　 利用在配方式中，当时，，即为因式分解的完全平方法式，和其他的因式分解式去解题的方法叫做因式分解法，因式分解法应用极其广泛，主要体现在数的求值的简便方法、代数式求值、解方程、函数、三角函数、几何中都有其应用。 计算： 若是整数，求整数ａ的最小值， 如图所示，在中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，由点Ｄ分别作于Ｆ；设ＥＤ＝ａ，ＤＦ＝ｂ，且实数ａ、ｂ满足，并有；使得方程，有两个相等的实数根。 （１）试求实数ａ、ｂ的值， （２）试求线段ＢＣ的长 如图所示，中，， 求证： ( 三 ) 降幂法(升幂法) 分析法是从结论(未知)出发,一步一步探索后达到命题的条件(已知),而降幂法的思想本质出就是分析法的思想本质. 例１０．当ｘ变化，求分式 的最小值． 例１１．设抛物线 的图象与ｘ轴只有一个公共点， 求ａ的值， （２）求的值． （四）换元法 数学中的“元”指的是未知数，在解题过程中，用新的未知数（或某一式子）作为新的变量（元）去替换原条件中的未知数或数学或代数式，从而使较为复杂的式子结构简化，这种方法叫做换元法，或称变量代换法，它的应用非常广泛。 例１２．解方程组 例１３．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解。”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试。”丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除于5，通过换元替换的方法来解决。”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ， 例14．若能将表示成的形式，求证： 例15．同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在画设计图时，如果在直角坐标中，抛物线的函数解析式为，正方形ABCD边长和正方形EFGH的边长比为5：1，求： （1）抛物线解析式中常数c的值， （2）正方形MNPQ的边长 （五）主元法 许多数学问题，都含有常量，参量和变量（统称为元素）。这些元素中，必有某个元素处于突出的、主导的地位，在解题时把这个元素看作主元，根据具体问题，从不同的思想角度出发，选出适当的元素作为主元，并以此为线索把握问题与解决问题的方法叫做主元法。 例16．（1）解方程： （六）消元法 对于含有多个变量的问题有时可以利用已知条件，通过一定的变形，消去若干个变数，使问题得以解决，这种方法称为消元法或消去法。 解方程组常常用消元法，通过方程组的等价变形消去若干个未知数，从而得到只有一个（或两个）未知数的方