球的内切与外接问题剖析.ppt

正四面体的外接球和内切球的球心一定重合 R:r=3:1 球的体积、表面积公式： 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______. 练习 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍. 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______. 课堂练习 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的体积等于圆柱体积的三分之二. O 用一个平面去截一个球O，截面是圆面 O ? 球的截面的性质： 1、球心和截面圆心的连线垂直于截面 2、球心到截面的距离为d，球的半径为R，则 截面问题 O A B C 例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积． 例题讲解 球与多面体的接、切 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。 棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。 内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 正方体的内切球 正方体的内切球的半径是棱长的一半 中截面 切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。 正方体的外接球 正方体的外接球半径是体对角线的一半 A B C D D1 C1 B1 A1 O 对角面 正方体的棱切球 切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 中截面 . 正方体的棱切球 正方体的棱切球半径是面对角线长的一半 . 球与正方体的“接切”问题 典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比. 变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 . 1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . §2长方体与球 长方体的外接球 长方体的（体）对角线等于球直径 一般的长方体有内切球吗？ 没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球， 那么它一定是 正方体 ？ 2、求长方体的外接球的有关问题 例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为 . 变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. C 如何求直棱柱的外接球半径呢？（底面有外接圆的直棱柱才有外接球） （1）先找外接球的球心： 它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点； （2） 再构造直角三角形，勾股定理求 解。 正四面体与球 1.求棱长为a的正四面体的外接球的半径R. 2.求棱长为a的正四面体的棱切球的半径R. 正四面体的外接球和棱切球的球心重合。 3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r. 正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？ ？