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公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 　　分析 由于 　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 　　解 设 　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3 　　=(x+2y+m)(x+y+n) 　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 　　比较两边对应项的系数，则有 　　解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 　　说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 　　例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 　　分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 　　解 设 　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) 　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 　　所以有 　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有 　　所以 　　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)． 　　说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止． 　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地． 求根法(因式分解) 我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 ? 　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) 　　f(1)=12-3× 　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) 　　f(1)=12-3×1+2=0； 　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12． 　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根． 　　定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a． 　　根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 　　定理2 　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数． 　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 　　例2 分解因式：x3-4x2+6x-4． 　　分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0， 　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 　　解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) 　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) 　　　　=(x-2)(x2-2x+2)． 　　解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)， 　　所以 原式=(x-2)(x2-2x+2)． 　　说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-