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金融工程与数学模型 金融工程是20世纪80年代出现的一门工程型的新兴学科，其产生发展的直接原因是20世纪70年代开始的全球金融市场汇率及利率的频繁波动。随之而来的经济全球化和金融全球化不仅给市场参与者带来了获取潜在收益的机会，同时也带来了较高的风险管理的要求。为了回避与防范市场风险乃至信用风险，金融家们创造并应用了诸多金融工具(如远期合约、金融期货、金融期权、互换等)，金融工程应运而生，并在不到三十年的时间里得到迅速发展和完善。 关于金融工程的定义，普遍为大家所接受的是由约翰·芬尼迪提出的，他认为“金融工程学包含创新性金融工具及金融手段的设计、开发和实施，以及对金融问题的创造性地解决.”具体说来，金融工程将工程思维引入金融领域，综合的采用各种工程技术方法(数学建模、数值计算、仿真模拟等)设计、开发和实用新型的金融产品，将现在的金融结构进行重组以获得人们所希望的结果。 由于金融工程的产生和发展都是以管理金融风险为目的，因此国内有学者认为“金融工程其核心是风险管理的工程化和系统化”。面对风险，金融工程有两个选择，第一个选择是用确定性来代替风险，这就意味着既防范不利结果的出现，同时也消除有利结果出现的可能性，主要表现为运用远期、期货、互换等产品。所有这些工具都能确保使用者获得既定的金融结果。当然，这属于消除风险的范畴。例如，有一家美国公司，在3个月内将支付一笔日元，它就可以以固定的价格现在购买一笔未来3个月内交割的日元，这笔远期交易就将可能的货币风险避免了。不论在3个月内汇率如何变化，该公司已经以己知的固定价格购买了日元，从而不会受到3个月后的市场汇率高低的影响。另一种方法是消除不利风险，同时保留了有利的获利机会，主要表现为运用期权及其相关产品。这里所谓的“消除不利风险”也不是绝对地从根源上消除了风险，而是将风险转移给交易的另一方，这属于风险转移的范畴。例如，期权则可以替换掉于己不利的风险，同时保留获利的机会。 从理论来源上讲，金融工程是以现代科学理论特别是系统工程理论为指导，以现代管理方法为手段的一门自然科学与社会科学交叉融合的新兴学科。它吸收了经济学、金融学和投资学的基本原理，又引进了运筹学、物理学、遗传学、工程学等多门学科的精华和必要的会计、税务知识。因此，从事金融工程研究的人员多是经济学家、数学家、物理学家、计算机专家、他们被业内称之为“火箭科学家”，而一般的研究开发人员则被称为“金融工程师”。但真正作为金融工程理论基础的还是经济学和金融学的基本原理及各种理论学说。由于金融工程最终是通过识辨和利用金融机会来创造价值的，因此，有关价值的来源、价格的确定以及金融市场特性的理论研究构成了金融工程的核心基础理论。它主要包括:估价理论、证券组合理论、资本资产定价理论、套期保值理论、期权定价理论、代理理论、期货市场创新理论等。伴随金融市场国际化相交易与监管的全球化进程，汇率决定理沦、利率理论、利息平价理论等也构成了金融工程的基本理论.对于这些理论的新发展.金融工程师应及时了解和掌握，以使自始至终地处于专门领域的理论前沿，并利用这些前沿理论创造性地开发新产品，解决金融实际问题。 金融工程学需要对具体的金融问题提供创造性的结构化解决方案，实际上也就是为具体问题提供一个最优或可行解，这就需要建立一些复杂的数学模型并提供精确快速的计算方法。从目前发展的趋势来看，金融工程的理论与实务中已经使用到了现代数学大部分分支的内容与方法。在说收益和风险规避中数学模型发挥了重要作用。如 一．单个资产的收益和风险 1．期望收益(expected return) 对于风险资产而言，其未来的收益是一个随机变量。在不同的经济条件下，这个随机变量将取不同的值，而每一种经济条件的出现都有其概率。把资产收益的不同取值乘以不同经济条件出现的概率，就能够对该资产未来的收益做出估计。 用公式表示为： 式中，为该资产收益的第状态的取值；为资产收益取值的概率；为该资产的期望收益。 2．收益的方差(Variance) 在数学上，方差反映的是一个随机变量对于其数学期望的偏离程度。同时，由于我们把投资的风险定义为投资收益偏离预期收益的潜在可能性，因此我们可以用预期收益的方差来作为衡量风险的标准。 用公式表示为： 即： 方差或者标准差的数值越大就表示投资收益偏离预期收益的幅度越大，也就意味着投资的风险越大。 二．投资组合的风险与收益 1．投资组合的构成 资产组合就是由几种资产构成的组合。投资者可以按照各种比率（或者称为比重或权重）将其财富分散投资于各种资产上，假设投资者选择投在种资产上的比重为、、…、，则有如下限制条件： s. t. , 其中： =投资组合所包括的资产种类的数量 =某种特定的资产 =分配给第种资产的比重 2．投资组合的收益 投资组合的收益率取决于两个因