量子力學答案曾谨言.docVIP

量子力学的诞生 1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， 试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 （1） 又据de Broglie关系 （2） 而能量 （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有 即 （：一来一回为一个周期） , 同理可得， , , 粒子能量 1.3设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 提示：利用 解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 （1） 其中由下式决定：。 0 由此得 ， （2） 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得 （3） 代入（2），解出 （4） 积分公式： 1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量。 解：平面转子的转角（角位移）记为。 它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件 ， 因而平面转子的能量 ， 第二章 波函数与Schr?dinger方程 2.1设质量为的粒子在势场中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 ， （能量密度） （b）证明能量守恒公式 （能流密度） 证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化） （1） （势能平均值） （2） 其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此 （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4） 且能量平均值 。 （b）由（4）式，得 （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度不随时间改变） 所以 。 2.2考虑单粒子的Schr?dinger方程 （1） 与为实函数。 （a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为 证：（a）式（1）取复共轭， 得 （2） （1）-（2）,得 （3） 即 ， 此即几率不守恒的微分表达式。 （b）式（3）对空间体积积分，得 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（ ） ，而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。 2.3 设和是Schr?dinger方程的两个解，证明 。 证： （1） （2） 取（1）之复共轭： （3） （3）（2）,得 对全空间积分： ，（无穷远边界面上，） 即 。 2.4）设一维自由粒子的初态， 求。 解： 2.5 设一维自由粒子的初态，求。 提示：利用积分公式 或 。 解：作Fourier变换： ， ， （） （指数配方） 令 ，则 。 2.6 设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后， 式中 是的Fourier变换。 提示：利用 。 证：根据平面波