《1.3连续.docVIP

§1.3 连续 (甲)内容要点 一、函数连续的概念 1.函数在点处连续 定义1　设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量（初值为）趋近于0时，相应的函数改变量也趋近于0，即 或　　　　　　　　　　 则称函数在点处连续。 函数在点处连续也可作如下定义。 定义2　设函数在点的某个邻域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即 则称函数在点处连续，此时有 并且有　　 即如果函数在点处连续，则在点处可以交换极限号和函数号的顺序。 定义3　设函数，如果，则函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。 由上述定义2可知，如果函数在点处连续，则在处既左连续也右连续。 2.函数在区间内（上）连续的定义 如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在内连续。 如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。 二、函数的间断点及其分类 1.　函数的间断点的定义 如果函数在点不连续，则称为的间断点。 2.函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 例如是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。 三、初等函数的连续性 1．在区间连续的函数的和、差、积及商(分母不为零)，在区间仍是连续的。 2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 3．在区间连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。 4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5．初等函数在它的定义区间内是连续的。 四、闭区间上连续函数的性质 在闭区间上连续的函数，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1　（有界定理）如果函数在闭区间上连续，则必在上有界。 定理2　（最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 其中最大值和最小值的定义如下： 定义　　设是区间上某点处的函数值，如果对于区间上的任一点，总有，则称为函数在上的最大值，同样可以定义最小值。 定理3　（介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得 推论　如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，使得 这个推论也称为零点定理。 思考题：什么情况下能保证推论中的是惟一的？ (乙)典型例题 一、讨论函数的连续性 由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。 【例1】 讨论函数 在点处的连续性。 解　　因　　 即有，故在点连续. 【例2】 讨论函数在点的连续性. 解　　 因，因而不存在，故在点不连续. 二、已知函数的连续性求未知参数 【例1】 设在处连续，求常数k. 解　　∵ ，由连续性可知　 【例2】如果函数，在处连续，求常数p和q. 解　　∵ 由在处连续性可知　 又　　　　 由在处连续性可知　. 三、求函数的间断点并确定其类型 【例1】 求函数的间断点，并确定其类型. 解　显然是间断点，由于 ＝ 所以是的可去间断点. 【例2】 求函数的间断点，并确定其类型. 解　所给函数在点，-2，2没有定义，因此，-2，2是所给函数的间断点.下面确定它们的类型. 对于，由于 ， 故是第一类间断点，且为跳跃间断点. 对于，由于 故是第二类间断点，且为无穷间断点. 对于，由于 故是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义，则在连续. 【例3】　设在内有定义，且, 则下列结论中正确的是（　　） (A) 必是的第一类间断点 (B) 必是的第二类间断点 (C) 必是的连续点 (D) 在处的连续性与a的取值有关 解　 ∴时是的连续点，时，是的可去间断点故选D. 【例4】　设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为（　　） (A) 　　　(B) 　　　(C) 　　　(D) 解　(A) 不一定有间断点例，，则为连续 (B) 不一定有间断点例同上，则连续 (C) 不一定有间断点，如(A)中和，则连续 (D) 一定有间断点，反证法，若连续，则连续，与假设矛盾 ∴一定有间断点 四、求连续函数的极限 分两种情形： 1.如果是初等函数，是定义区间内的一点，则，即只需在函数的表达式中把自变量x换成它的极限值就行了. 【例1】 求. 解　因，而函数在点连续，所以 【例2】　设在处连续，且