《09第九讲向量空间窄.docVIP

第九讲 向 量 空 间 教学目的： 1. 介绍向量空间的狭义概念、向量空间的线性结构、线性子空间；希望对空间有一个整体的概念。 介绍空间的基本度量及正交基；可讲得粗一些，不纠缠于正交化计算。 教学内容： 第五章 向量空间：§ 5.1、§ 5.2。 教案提纲： 第五章 向 量 空 间 § 5.1 向量空间 一、向量空间的狭义定义：定义5.1（向量组对于线性运算的完备性）； 定义5.1为的一个非空子集，如果满足： （1）对加法运算是封闭的，即中任意两个向量的和仍在中； （2）对数乘运算是封闭的，即中任意向量与任一实数的乘积仍在中； 就称关于向量的线性运算构成（实数域上的）向量空间。 向量集合对加法和数乘运算封闭常常称它满足完备性，又由第三章定义3.2、、和本身都是典型的向量空间。 P.112，例5.1~5.3。 二、向量空间的线性结构： 1. 基与维数：定义5.2（即最大无关组和秩，升级而已）； 定义5.2 设是一个向量空间，是中的一组向量，如果满足： (1) 线性无关； (2) 中的向量都可以由线性表示；是的一个基，称为的维数，记作，称是维向量空间。 向量在某个基之下的坐标：定义5.3（即表示系数）。 定义5.3 设是一个向量空间，是的一个基，，若可由这个基表示为： ( 或) (5.1) 则称表示系数为在基下的坐标。P.114，例5.7(对上述的例5.1和5.3，给出基和维数)。 例5.3中，也构成向量空间，这实际上就是齐次方程的解空间，可取它的基础解系 ， 作为基，因此，对任意向量，令其坐标为，于是有方程 ， 容易解出，这便是所求的坐标。 三、子空间： 1. 子空间： 定义5.4 是向量空间的一个子集, 如果关于中的线性运算，也能构成向量空间，则称是的一个子空间。 作为子集，显然有，因此。 的任一个基必含于的某一个基之中，因而总可以扩展为的一个基。 （讨论：与母空间的关系：运算一致、基包含、维数等） 2.生成子空间：完整显示向量空间的结构， “以有限的形式把握一个无限的对象”。 例5.8 设、, 、的所有实系数线性组合的集合记作 ， 试证：关于中的线性运算构成向量空间。 证 ，记 ，则 ，且 ， 故 。因此，关于中的线性运算构成向量空间。◆ 注意到是的子集，称此空间为由、所生成的子空间（或称为、的生成子空间），记作；、称为它的生成元。 生成空间的概念是一个重要的概念。事实上任何向量空间都可以表达为它的任一个基的生成空间。 （例：齐次方程组的解空间，例5.9等） 例5.9 设齐次方程组，记它的解集为。证明关于向量通常的线性运算构成向量空间。 证 ，有、，则有 ； ，亦有 ， 于是是完备的，关于向量通常的线性运算构成向量空间。称为齐次方程组的解空间。 若，则的维数为（见第四章定理4.19），基础解系就是的一个基，通解就是空间的生成形式，则解空间也可以写作基础解系的生成空间的形式： ， 它是的一个维子空间。 特别地，若，则只有唯一零解，，没有基，即没有基础解系，故，是的一个零维子空间。 可讨论生成子空间的生成元与基之间、空间的维数与向量组的秩之间的关系；以及定理5.1：等价的向量组生成同一个子空间。） 例5.10 求。 § 5.2 向量空间的内积与正交性 一、内积与基本度量： 1. 内积：定义5.5；运算律（内积公理）：定理5.2； 2. 范数：定义5.6；运算律（范数公理）：定理5.3（可不证）； 定义5.5 ,，定义它们的内积为 （5.5）（5.6） 定理5.2 ； 对加法的分配律：； 对数因子的结合律：； 非负性：，且当且仅当。 这四条运算律又称为内积公理，由定义可直接加以验证。◆ 定义5.6 的范数为： 。 （5.7） 定理5.3 范数有下列性质： （1）非负性：，且当且仅当； （2）齐次性：； （3）柯西－许瓦兹不等式: ； （4）三角不等式：。 “单位化”； 例5.11和例5.12，自己看。 3. 距离： 定义5.7中的两个点之间的距离定义为。 记点、 ， X P 相应的向量表为、，于是 O ) ，因此 Y Q 夹角：从余弦定理引入 定义5.8的夹角为： （） 说明：内积的几个背景；投影、力做功。 二、正交性与正交基： 1. 正交的概念：定义5.9； 定义5.9非零向量,当且仅当内积时，称与正交，记作⊥。 特别地，认为零向量与任何向量正交。 2. 正交基： （1）正交组（规范正交组）： 定义5.10 为一组非零向量，若满足关系 ， （5.8） 是中