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带电粒子“滚钱币”的动态圆模型 　　带电粒子在磁场中的运动问题中，有一类“滚钱币”动态圆模型，以下是对这种模型的分析和拓展. 　　“滚钱币”动态圆模型：如图1所示，一束带负电的粒子（不计重力）以初速度[v]垂直进入匀强磁场，若初速度[v]大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同. 其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹. 使用时应注意各圆的绕向. 　　[× × × × × × × × 　　× × × × × × × × 　　× × × × × × × × 　　× × × × × × × × 　　× × × × × × × × 　　× × × × × × × × 　　× × × × × × × ×] 　　图1 　　拓展一 在矩形磁场中考查“滚钱币”模型 　　例1 如图2所示，在[0≤x≤b]、[0≤y≤a]的长方形区域中有一磁感应强度大小为[B]的匀强磁场，磁场的方向垂直于[xOy]平面向外. [O]处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为[m]、电荷量为[q]的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在[xOy]平面内的第一象限内. 己知粒子在磁场中做圆周运动的周期为[T]，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为[T12]，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为[T4]. 不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（ ） 　　[? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] 　　图2 　　A.粒子射入磁场的速度大小[v=2qBam] 　　B.粒子圆周运动的半径[r=2a] 　　C.长方形区域的边长满足关系[ba=3+1] 　　D.长方形区域的边长满足关系[ba=2] 　　解析 设粒子的速度大小为[v]，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由磁场对粒子的洛伦兹力提供，则[qvB=mv2r]，解得[v=qBrm] 　　粒子在匀强磁场中的运动时间为[t=sv] 　　由于各个粒子的电量、质量和粒子的速度的大小都相同，所以各个粒子在磁场中的轨道半径的大小为定值，粒子在磁场中所对应的轨迹的弧长越长，运动时间越长；粒子在磁场中所对应的轨迹的弧长越短，运动时间越短. 　　[? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?][? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] 　　图3 　　假设匀强磁场充满整个空间，如图3所示画出粒子在磁场中的轨迹，由图4可知，沿着[y]轴正方向的粒子最先从磁场上边界中飞出，设该粒子在磁场中的轨迹所对的圆心角为[θ1]，由题意得[θ1360°T=T12]，解得[θ1=300]. 　　[? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?][? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] 　　图4 　　由几何关系，可得[rsin300=a] 　　可解得[r=2a]、[v=2qBam]，选项A、B正确； 　　如图5所示，当粒子的运动轨迹和磁场的上边界相切时，粒子在磁场中运动轨迹所对应的弧长最长，运动时间最长. 设该种情况下粒子的轨迹所对应的圆心角为[θ2]，则[θ2360°T=T4]，解得[θ2=900]. 设[∠MO2O=θ3]、[∠MO2d=θ4]，则[θ3+θ4=900]. 由几何关系，有[rcosθ3=r-a] 　　[? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] [? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 　　? ? ? ? ? ? ? ? ?