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路灯安置优化问题 数学系02级2 班 王敏 学号 摘要：本文将从队一盏灯的照明情况的分析出发，研究怎样合理的设计路灯的高度和路灯 之间的间距才能既满足人们的要求，又能尽可能的节约能源。 首先分析路灯照明的特性，然后建立一盏灯时面积使最大的模型及两盏灯时时路 灯间距最大的模型，在此基础上建立一排路灯及两排路灯的数学模型，分析两种情况何时须灯数最少即最节约能源，其中由实际情况中，两排灯时交错分布照明较均匀，所以两排灯时考虑灯交错分布的情况。 关键词：照明强度，路灯设计，路灯高度和间距的优化， 问题的提出： 目前大多数公共场所都安装了路灯，路灯的高度和路灯之间的间距一般是依靠经验进行设置的，并没有从优化的角度进行考虑。在能源日益减少的今天，我们应该考虑怎样尽可能的节约能源，并且作为校园整体设计的一部分路灯的安排也直接影响到学校环境,对于夜晚校园环境的烘托具有非常重要的意义校园内几条道路的路灯设计，对校园整体室外照明有了一定的了解A路正在安装路灯，为获取数据的方便取该路为研究对象。 背景知识： 一 一些基本知识 1．光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角所辐射的能量来量度，单位：坎德拉 通量：人眼所能感觉到的光辐射的功率。单位时间光辐射的能量和相对视见率的乘积，单位：流明 照度：单位面积上得到的光通量，单位：勒克司 照度定律：点光源O预备照明平面中心A的距离为h时，平面上A点的照度 ，其中，p为 O点的光强度，a为平面的法线方向与光源到A点的连线之间的夹角,h为光源的高度，l为光源到A点的距离 二 关于照度值的分析 对于眼睛最敏感的波长的黄绿光来说，1流明相当于1/685瓦特。 一般常见或需要的照度：晴朗夏天室外背荫处得照度为1000-10000流明 由上述内容，为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的照明强度，取照度的最小值为 即为13700流明。 注（1）本文调查路段为小南门西侧的道路，由于该路没有命名，故文中称为A路。 模型的假设： 1 主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的额定功率为定值 注：数据来源 A路的路灯标签 额定功率为220伏，额定电流为10安，所以取额定功率 2 在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的，即处处等宽。即宽度为 5米 数据来源：实地测量A路的宽度. 3 经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度，只有照明强度不低于某定值时，才能认为物体可见。在这里认为对所有物体均为。 4路长的计算：所考虑路段路的两侧均铺有花转，所以用砖的块数乘以每块砖的边长在乘灯数减1来计算路长，经观测灯的间距大致相同，仅有少数有些差别，取平均值为64块砖。路长L=64*0.29*14=260米 参量变量：路灯的高度 h ; 路灯的功率 p ; 使物体可见的最低照明强度为； 路灯的间距 l； 路的宽度 d=5米；路长 L=260米; 组建模型： 一 一盏路灯的优化问题 由物理学知识可知，被光线照射的物体的亮度依赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射角度。路灯到某点A的照明强度为： 其中p为灯的功率，h为灯的高度，r为灯到点A的距离. 地面上物体可见的区域为： 只有时上式有解，且的区域物体可见，物体可见区域的面积为以O为圆心，以为半径的圆，其面积为：= 对s关于h求导可得, 时，面积达最大值，可求得路灯得最优高度。 已知 h= 其中 p=2200w,,可得最优高度h为4.60米。 二 两盏路灯间距最小的的优化问题 主要考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最小值； 图1 A 如图，A点的照度在路面的各点中最小，所以l和 h的只需满足即可 其中p和d均为定值且l越大越大,只需求当最小时，使l最大的h值。 解法一：由整理得： 对上式关于h求导得 由解得当时取得最大值。即h=6.5米时，l最大为15.5米 解法二：用求解Maple 程序如下： fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=5},{l,h}); fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=5.5},{l,h}); fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=6},{l,h}); fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=6.5},{l,h}); fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=7},{l,h})