《零点定理讲义.docxVIP

函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点　　一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.　　要点诠释：　　函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．　　归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定　　二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点　 3.二次函数零点的性质　　①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.　　②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.　　引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用　　①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.　　②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.　　引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点　　如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法　　所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：　　已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.　　第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.　　第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为　　.　　计算和，并判断：　　①如果，则就是的零点，计算终止；　　②如果，则零点位于区间中，令；　　③如果，则零点位于区间中，令　　第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 　　.　　计算和，并判断：　　①如果，则就是的零点，计算终止；　　②如果，则零点位于区间中，令；　　③如果，则零点位于区间中，令；　　……　　继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导　　1．如何求函数的零点？　　答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.　　2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？　　答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点　　1．求下列函数的零点.　　(1)；　　(2).（3）举一反三：　　【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.　　练习 1求函数的零点．2．设函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－的零点是________．　　类型二、确定函数零点的个数　　2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( )　　A．1　　B．2　　C．0　　D．无法确定　练习1．函数f(x)＝的零点有(　　)A．0个　　　　　　　　　　B．1个C．2个 D．3个2 函数f(x)＝的零点个数为().A．0 B．1 C．2 D．3零点定理的探究：（1）观察二次函数的图象： 在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）． 在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．（2）观察下面函数的图象 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．练习1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值(　　)A．大于0　　　　　　　　B．小于0C．等于0 D．不能确定2．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根 D．没有实数根类型三 通过零点定理判定零点区间设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间(　　)A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)C．(1.5,2) D．不能确定练习：1 ．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.5