拓扑习题.docVIP

4.1连通空间 1.设和是拓扑空间的隔离子集,证明:如果,则和也是隔离子集. 证明:因为和是拓扑空间的隔离子集,且, 故, 故, 故和也是隔离子集. 2.设都是拓扑空间的的子集,证明:集合和是隔离子集当且仅当对于任何,集合和是隔离子集. 证明:因为, 故, 当且仅当. 即集合和是隔离子集当且仅当对于任何,集合和是隔离子集. 3.设和是拓扑空间的隔离子集,证明:如果是开集(闭集),则和都是开集(闭集). 证明:若有一为空集,则结论显然成立.若都是的非空隔离子集,则为的不连通子空间,且都是的非空隔离子集,则为的既开又闭的子集. 如果是开集(闭集),则由习题3.1.2结论,和都是开集(闭集). 4.有限补空间和可数补空间何时是连通的何时是不连通的?给出结论和证明? 解:对有限补空间,若为有限集,则是连通的;若为无穷集,为不连通的. 对可数补空间来说,若为可数集,则是不连通的;若为不可数集,为连通. 5.设和是集合的两个拓扑,并且,证明:如果拓扑空间是连通的,则拓扑空间也是连通的. 证明:(反证法)假设不连通,则存在使得.又,故使得,这与连通矛盾.故拓扑空间也是连通的. 6.设是拓扑空间的一个连通子集,是的一个既开又闭的集合,证明:如果,则. 证明(反证法)假设,则 为的非空真子集;又是的一个既开又闭的集合,故为中的非空的既开又闭的真子集.这与是拓扑空间的一个连通子集矛盾.故. 7.设是一个拓扑空间,是的一个子集,证明:是不连通子集当且仅当存在的开集(闭集)和使得和成立. 证明: 是不连通子集当且仅当存在的非空开集(闭集)和使得,当且仅当存在的非空开集(闭集)和满足使得和成立. 8设是拓扑空间的一个连通子集,证明:如果和是的两个无交的开集(闭集)使得,则或者或者. 证明:令,由于和是的两个无交的开集(闭集),故,故和是的两个无交的开集(闭集).又,故.又是拓扑空间的一个连通子集,故或或,故或者或者. 9.设是拓扑空间的一个子集,证明:是的一个不连通子集当且仅当中存在两个非空集合和使得和成立. 证明:设中存在两个非空集合和使得和成立,则有由习题4.1.7, 是的一个不连通子集. 反之,若是的一个不连通子集,则存在的非空闭集,使得.又为闭集,由习题3.1.2结论, 也是的非空闭集.又,若,则,从而,则,矛盾.故.同理可证.故中存在两个非空集合和使得和成立. 10.设是拓扑空间的一个由连通子集构成的子集族,证明:如果对于任意的,在指标集中有有限个元素,使得对于任何,集合和不是隔离子集,则集合是的一个连通子集.(事实上,定理4.1.6是这个习题的特殊情形.) 证明:设为的隔离子集使得,则对任意的,因为连通,故或者或者. 若存在使得,则对任意的,有.不然,若存在,使得.则由条件,存在,使得对于任何,集合和不是隔离子集;另一方面, 对于任何,或者或者,又,,故存在,使得及成立,这与集合和不是隔离子集矛盾.故若存在使得,则对任意的,有,故;同理,若存在使得,则对任意的,有,故. 纵上, 集合是的一个连通子集. 11.设是连通空间的中的一个非空真子集,证明:. 证明:(反证法)若,由习题2.5.2(4),是的中的一个既开又闭的非空真子集,这与为连通空间矛盾.故. 12.设是一个离散空间,并且含有不止一个点,证明:拓扑空间是连通的当且仅当每一个连续映射都是常值映射. 证明:(必要性)设是连通的,为连续映射,则为的连通子集.若不是常值映射,即中多于一点,设,则由于是一个离散空间是一个离散空间,故与是中的非空不交的既开又闭的集合,这与为的连通子集矛盾.故都是常值映射. (充分性)假设是不连通的,则存在的非空不交闭集使得.取,.定义映射使得,,显然为连续映射,但不是常值映射,矛盾.故是连通空间. 13.设和是两个拓扑空间, 是一个连续映射,证明:如果是的一个连通子集,则是的一个连通子集. 证明:因为是一个连续映射,易见为连续映射.又是的一个连通子集,故是的一个连通子集. 14.证明:欧氏平面中所有至少有一个坐标为有理数的点构成的集合是一个连通子集. 证明:就是要证明为的连通子集.记,.任取中的两个元素,,若,则任取中的元素,则对,与,与不是隔离子集;同理可证时满足习题4.1.11的条件;若,则和不是隔离子集.综上所述,Y满足习题4.1.11的条件,故为上的连通子集. 15.在欧氏平面中令是所有第二个坐标为有理数的点构成的集合,是所有第一个坐标为0的点构成的集合.证明:不是连通子集,是连通子集. 证明:因为,类似与上题,易证满足习题4.1.11的条件,故是连通子集.又,故不是连通子集. 16.在欧氏平面中令 证明:对于任何,,子集是连通的. 证明:因为为连通子集,且,故连通;又,故,故子集是连通的. 17.证明:如果积空间是一个连通空间,则它的坐标空间和