西南交大數值计算.docVIP

1.秦九韶算法 利用秦九韶算法简化求多项式的值的运算式，并写程序计算多项式在点处的值。 1.2秦九韶算法简化多项式 计算多项式的值： 1.直接计算，逐项相加，共需要加法和乘法的次数为n次、次； 2.用秦九韶算法简化，则y=(…，从内到外逐步计算一次多项式的值，共需要加法和乘法的次数各为n次。 2.牛顿法及基于牛顿算法下的Steffensen加速法 分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen加速法 求ln(x+sinx)=0的根。初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进行计算。 求sinx=0的根。初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进行计算。 分析其中遇到的现象与问题。 2.1 问题分析 牛顿法是一种迭代法，是求方程根的重要方法之一，通过使用函数f(x)在近似根附近的一阶泰勒多项式近似表示来寻找方程的根，在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛。其迭代公式为： Steffensen加速法公式： 2.2求ln(x+sinx)=0的根 2.2.1牛顿法 2.2.2 Steffensen加速法 2.2.3 结果及分析 初值 牛顿法结果（循环次数） Steffensen加速法结果（循环次数） 0.1 0.5109734294（7） -2.118746196 0.2 0.5109734294（6） 0.5109734294（5） 0.5 0.5109734294（4） 0.5109734294（3） 1 0.5109734294（6） 0.5109734294（5） 1.5 溢出 1.5 2 溢出 2 4 溢出 4 （误差限为） 2.3求sinx=0的根 2.3.1 牛顿法 2.3.2 Steffensen加速法 2.3.3 结果及分析 初值 牛顿法结果（循环次数） Steffensen加速法结果（循环次数） 1 溢出 0 1.4 3.1415926535898（7） -3.141592651（4） 1.6 31.4159265358965（8） 256） 1.8 6.28318530141765（4） 6.283185307（3） 3 3.14159265330048（3） 3.141592654（3） 3.数值积分 （1）实际验证梯形求积公式、Simpson求积公式、Newton-Cotes求积公式的代数精度。 （2）针对下述三个函数和积分区间[a,b]，实验观察梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton-Cotes求积公式的复化求积公式的实际计算效果。 y=exp(-x.^2).*sin(10*x)+4; a=1; b=3; y=sin(5*x)./x.^3;a=2*pi; b=4*pi; y=sin(5*x)./x.^3;a=2*pi;b=9.4248; 复化梯形求积公式： 复化Simpson求积公式： 复化Cotes求积公式： 3.2.1 函数一 y=exp(-x.^2).*sin(10*x)+4; a=1; b=3; 区间分段数n 10 7.795079734 7.96564667102 7.965741801335 50 7.966100699 7.96574162200 7.965741772801 100 7.965831391 7.96574176338 7.965741772794 500 7.965745356 7.96574177278 7.965741772794 1000 7.965742669 7.96574177279 …… …… …… …… …… 10000 7.965741782 7.96574177279 …… 3.2.2 函数二 y=sin(5*x)./x.^3;a=2*pi; b=4*pi; 区间分段数n 10 / 0.0007269029606 0.000695878073 50 0.0006729276245 0.0006963225549 0.000696285505 100 0.0006904738223 0.00069628782103 0.0006962855248 500 0.0006960534095 0.00069628552878 0.000696285525115 1000 0.000696227499 0.00069628552534 …… …… …… …… …… 10000 0.0006962849449 0.000696285525115 …… 3.2.3 函数三 y=sin(5*x)./x.^3;a=2*pi;b=9.4248; 图3.3.3 区间分段数n 10 0