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[因數與倍數]形成性評量教學活動設計 單元名稱 因數與倍數 適用年級 五年級 教學節數 約 3 節 設計者 蔡易儒 指導老師 林宜臻老師 教學節次 教學重點 教學準備 第一節 認識因數，能找出某一整數的所有因數，認識質數與合數。 學生座號與名字表 籤桶、座號卡、膠帶 第二節 利用列表的方式，找出兩整數的公因數與最大公因數。 能正確應用因數和最大公因數解決問題 學生座號與名字表 籤桶、座號卡、膠帶 第三節 認識倍數，利用幾個一數的方式找出一整數的倍數。 可以從限定的範圍中找出兩整數的公倍數，且找出最小公倍數以及應用倍數和最小公倍數解決問題 小白板、白板筆、數字轉盤 能力指標 具體目標 N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數 N-3-20能察覺整數的最大公因數、 設計構想 壹、 數學的本質概念： 一、因數與倍數的概念 在數學上，整數範圍以外的因數或倍數討論，是高等數論內探討的問題，在國小數學中，因數與倍數的討論，以正整數為範圍。因數與倍數及其關係，在數學結構上，是由「除法原理」去判斷兩整數相除，其餘數是否為零而定。而所謂的歐幾里得的除法原理是指：若有a、b兩個正整數，則必可找到q、r兩個非負整數，滿足a＝b×q＋r的關係，且b＞r≧0，此時，a為被除數、b為除數、q為商數，而r稱為餘數；並且可記為：a÷b=q…r當r＝0，我們可以說「b整除a」或「a被b整除」；由此定義「b是a的因數」，或稱「a是b的倍數」。 因此，相對而言，因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量；而倍數問題是向外探討以一個正整數為單位量，可以生成哪些正整數，這是兩個相反方向的問題探討。換句話說，即是在給定總數並尋找可能的單位量數值問題中，討論因數的意義；在乘數未知算式填充題情境下，討論積數是否為被乘數的倍數，介紹倍數的意義。 二、質數與合數的概念 一個正整數如果只有1和自己兩個因數，我們叫它「質數」，一個正整數如果除了1 和自己兩個因數以外，還有其它的因數，我們叫它「合數」。在數學上，定義 1 不是質數，因為如果 1 是質數，則違反算術基本定理：每一個正整數，都可以表示為質數的連乘積，且若不計質因數的次序，其表示法為唯一。 三、公因數與最大公因數 以探討一個指定正整數有哪些因數為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同因數的問題，這些共同的因數稱為公因數。在列出所有的公因數情況下，討論何者為最大公因數；並且討論：當兩個正整數，除了1以外，沒有其他的公因數時，稱這兩個數「互質」。 四、公倍數與最小公倍數 以探討一個指定正整數有哪些倍數為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同的倍數的問題，這些共同的倍數稱為公倍數。在列出某個範圍內所有的公倍數的情境下，討論何者為最小公倍數；並且討論下列兩個現象：1.一個正整數是其所有因數的公倍數；2.兩個正整數相乘的積數為這兩個正整數的公倍數。 貳、 數學概念的發展： 學生的先備經驗與教材發展： 二、學生的迷思： （一）因數 直接由數的情境進入討論因數的意義，對學而言，可能並不恰當，因為數本身相當抽象，當學測量運思尚未發展完全，無法將等分除與包含除視為相同的問題時（無法彈性地互換單位量與單位數的角色），可能混淆除數的雙重意義，不易掌握由單位量（因數）組成總數的意義 學童在遇到公倍數的問題時，會有以下2種迷思出現： 1.學童面對「兩數在某一數量範圍內有哪些公倍數？」問題時，大多會採用下列兩種解題方式：（1）先分別求出兩數在某一數量範圍內所有的倍數，再由其中找出共同的倍數；（2）先找出某一數在某一數量範圍內所有的倍數，再判斷這些倍數是否為另一數的倍數。若部份學童先將兩數記成質因數連乘積後，再找出公倍數，可以請學童說明為什麼使用這種方式可以解題成功的理由，並淡化處理。 2.利用找出兩正整數的公倍數（最小公倍數）的方法，解決如韓信點兵的問題時，例如：「甲班的學生不超過40人，平分成3組可以剛好分完，沒有剩下；平分成4組也可以剛好分完，沒有剩下。甲班可能有多少學生？」。由於學童在本冊第六單元的活動中，已有尋找兩整數的公倍數（最小公倍數）的經驗，雖然上述問題中的組數是單位數的概念，測量運思的學童可以掌握乘法交換律，彈性地互換單位量與單位數的角 色，而直接尋找3與4的公倍數來解決問題，即使尚未發展測量運思的學童，亦可在理解題意後，用嘗試錯誤的方式進行解題，例如：一組有1個人，3組有3個人；一組有2個人，3組有6個人；…；一組有1個人，4組有4個人；一組有2個人，4組有8個人；…。 參、 處理的特色： 運用形成性評量題目和遊戲的方式，讓學生透過關係洞察及親身體驗，了解抽象的因數倍數、質數合數與公因數公倍數的概念。其中以利用尋找自己因數座號夥伴的遊戲，讓學生練習找因數