下学期 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2.docVIP

下学期 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2 4．6两角和与差的正弦、余弦、正切 教学具准备 投影仪 教学目标 1．掌握利用 得到的两角和与差的正弦公式． 2．运用 公式进行三角式的求值、化简及证明． 教学过程 1．已知 两角，我们可以利用 的三角函数去计算复合角 的余弦，那么，我们能否用 的三角函数去表达复合角 的正弦呢？本节课将研究这一问题． 2．探索研究 请一位同学在黑板上写出 ， 的展开式． ． 由于公式中的 是任意实数，故我们对 实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令 ，得到 ， 两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能否在 中对 选取特殊实数代换，使 诱变成 呢？或者说能否把 改成用余弦函数来表示呢？请同学回答． 生：可以，因为 该同学的思路非常科学，这样就把新问题 问题化归为老问题： ． 事实上： ?? 这样，我们便得到公式． 简化为 ． 由于公式中的 仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得 的展开式呢？请同学回答． 生：只要在公式 中用 代替 ，就可得到： 即?? 师：由此得到两个公式： 对于公式 还可以这样来推导： 说明： 上述四个公式 ，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉： 这样我们只要牢固掌握“中心”公式 的由来及表达方式，就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会． 、 是用 的单角函数表达复合角 的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角 的三角函数来表达单角三角函数．诸如： ， ， 及 四种表达式，实质上是方程思想的体现： 由 得： 由 得 　 由 ，得： 　 由 得： 　 等式、、、在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的． 例题分析 ? 不查表，求 ， 的值． 解： 说明：我们也可以用 系统来做： 已知， ， ， ， 求， ． 分析：观察公式 和本题的条件，必须先算出 ， 解：由 ， 得 又由 ， 得 不查表求值： ； ． 解： 练习 ， ，则 ． 在 中，若 ，则 是___________． 参考答案： ∴ 由 ， ∴ ， 为钝角，即 是钝角三角形． 求证： ． 分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角． 证明： 左边 右 原式成立 如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想： 由 令 ， 则 ? 至于 我们可这样分析： 令 得 同理 可进一步改写为： ……② 又 ……③ 由、得 本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边． 求证： 师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角；如果从左边证右边则须配一个角 ，所以本题起码有两种证法． 证法1：右边 左边 原式成立 师：另一种证法根据刚才的分析要配出角 ，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了． 证法2： 左边 右边??? 原式成立