《浅谈分块矩阵的应用.docVIP

分块矩阵的应用 09理学研 470920622 王庆权 分块矩阵是矩阵的一种推广，一般矩阵的元素是数量，而分块矩阵的元素可以是数量，也可以是矩阵。分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.本文主要研究分块矩阵在计算行列式、求矩阵的秩、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵的秩的一些性质等方面的应用。 首先指出以下两点事实:矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩;两个矩阵中有一个是可逆矩阵时，它们乘积的秩等于另一因子的秩;在一个分块矩阵中，若把每个块看成一个元素，则进行通常的初等变换仍不改变矩阵的秩。有了以上的说明，现在来谈分块矩阵的应用. 一 用分块矩阵计算行列式 定理1 设是一个四分块阶矩阵，其中、、、分别为矩阵， (1)若可逆，则 (2)若可逆，则 证明：现在只对(1)进行证明，(2)可类似于(1)的方法证明。 由分块矩阵的乘法，有 两边取行列式，由于 所以 推论1 设是一个四分块阶矩阵，若可逆，且，则 ；若可逆，且，则。 推论 设是一个四分块阶矩阵，若可逆，且则 计算 解 令 那么 , 所以 = 类似定理的证明可得。 定理2设是一个四分块阶矩阵，其中、、、分别为矩阵， (1)若可逆，则 (2)若可逆，则. 推论3 设是一个四分块阶矩阵，其中、、、分别为矩阵，若可逆，且，则 ；若可逆，且，则。 推论4 设是一个四分块阶矩阵，其中、、、分别为矩阵，若可逆，且 ,则 。 例2 求矩阵的行列式，其中。 解： 先对 进行加边，然后将加边的行列式的第一行乘以-1加到其余各行得 令 由于，所以B可逆，由结论（2）有 。 二 用分块矩阵求可逆矩阵的逆矩阵 定理3 设是一个四分块阶矩阵，其中、、、分别为矩阵， （1）若可逆，则H可逆的充分必要条件是为可逆矩阵，并且其逆矩阵为： 其中 (2)若可逆，则H可逆的充分必要条件是为可逆矩阵，并且其逆矩阵为： 其中 证明 现在只对（1）进行证明，（2）可类似于（1）的方法证明。由定理1知，可逆，则有 因为,所以的充分必要条件是 即可逆的充分必要条件是为可逆矩阵。 令假设 是可逆矩阵，设 其中分别为矩阵， 。由 比较上式两端相应块，得到 由（1）得,代入（3），得 由此得。 由（2）得, 代入（4），得由此得 及 令 ，这样我们就得到 例3 用分块矩阵求矩阵 的逆矩阵。 解 令 由于 , 由上面的关于分块矩阵定理得 小结 综上所述,我们看到,分块矩阵是解高等代数题的一个有力工具和方法.当然,它在求矩阵的乘积,求矩阵逆等很多方面都有应用。利用分块矩阵及初等变换证明矩阵的秩的不等式,计算行列式,求逆矩阵时,思路很清晰,充分体现了分块矩阵的优越性。 1