立體几何的模型转换.docVIP

直击高考思想方法系列之 立体几何问题的模型化处理 中学立体几何的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究。高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面关系及其相关量的计算与证明。 “构造模型法”突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力。常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等。 一、构造正方体模型解题 当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。 例1 对于直线m、n和平面，下面问题中的真命题是（ ） A.如果m、n是异面直线，那么n∥B.如果m、n是异面直线，那么n与a相交 C.如果n∥a，m、n共面，那么m∥n D.如果m∥a,n∥a，m、n共面，那么m∥n 分析：构造正方体，如图1. 对于选项A，设a为平面ABCD，m为AB，n为C1C，则n⊥a，故A错。 对于选项B，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1D1，则n∥a，故答案B错。 对于选项D,设a为平面AC，m为A1B1，n为B1C1，此时m与n相交于B1，故答案D错。 ∴正确答案为C，事实上，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1B1，∵AB∥A1B1，∴m∥n. 例2 由空间上一点O出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角。 解：先构造一个正，如图2，正方体的中心O到四个点A、B、C、D连线所夹的角相等，则∠AOD就是所求的角。 设正方体的棱长为a，则, , 则所求角为. 评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中。因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决。正四面体的体积是它外接“正方体”体积的.即，并可由这个模型推导出正四面体的体积(a为四面体的棱长）。 例3 已知平面及以下三个几体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥；（3）正四面体。 问这三个几何体在平面上的射影可以为正方体吗？请加以说明。 分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起至一定高度可使其在底面（即水平）上的射影可变为正方形。 对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断。对于（2），如图3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别在BB1、DD1上取E、F，使得，则四棱锥A1－AEC1F符合条件。 对于（3），把正四面体A1－BC1D放在正方体ABCD－A1B1C1D1，如图4，即可得其在底面a上射影为正方形。 评注：对于（2）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得到一个正方形。 例4 已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°,PA=AC=BC,求AB与PC所成的角。 解：构建一个正方体，如图5，PC与AB两异面直线所成的角为DB与AB所成的角，而△ABD是等边三角形，∴PC与AB成60°角。 评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交。 二、构造长方体模型解题 在某些类似的问题，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模型。 例5 过球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，且PA=，PB=，PC=，求球O的半径。 分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直，球O就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O的直径，设半径等于R，则有，. 评注：从同一点出发的三条棱两两相互垂直，其长度分别为a、b、c，就可以构造长方体模型，外接圆的直径就是对角线的长，所以. 例6 已知四面体的四个面都是边长分别是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积。 分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁. 通过分析已知条件，构造长方体ABCD－A1B1C1D1，如图6，其中四面体D1AB1C符合条件。令AC=5，B1C=6，AB1=7，由勾股定理得AB2=19,BC2=6,AA12=30. ∴. 评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的. 例5是全日制普通高中教科书《数学》第二册（下A）第73页例2的改编题，该题是2003年全国高考理科第12题和2005年辽宁省高考题理科17题中第3小题的原形题。 三、构造“三节棍”模型解题 《全日制普通高中教科书（实验修订本·必修）》第二同（下B）第80页复习参考题九第2题给出了三条棱AB、BC、CD两两互相垂直的四面体ABCD（图7），这是一个很有用的几何模型，经研究，这个四面体具有下面两个性质： （1）CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD； （2）相邻两节所在三角形中，