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10.10空间几何体的表面积与体积【知识网络】 1、球的表面积和体积； 2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积；3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积；4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。【典型例题】例1：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为 （ ）A． B． C． D．答案：B；解析：取P、Q分别为AA1、CC1的中点，设矩形AA1C1C的面积为S，点B到底面AA1C1C的距离为h，则 。（2）半径为R的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 （ ）A、2πR2 B、4R2 C、2R2 D、4πR2答案：B。解析：。（3）平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该平行六面体的体积为A． B． C． D． 答案：C。解析：。（4）已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____。答案： 。解析：P点的轨迹是以D为球心、半径为1的六分之一球，∴。 （5）已知球的内接正方体的表面积为S，那么球的体积为 。答案：。解析：，即，。例2：过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等。（1）若∠APB=2α，求弦长关于α的函数表达式；（2）求三棱锥P—ABC体积的最大值。答案：解：（1）由题知P—ABC为正三棱锥，作其高PO′，则O′为正△ABC的中心,球心O在PO′上，设PO′=h,PA=a，设则，在中，，，令，令=0，∴当，V有最大值，∴当正三棱锥的高时，体积最大。例3：一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。答案：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：。例4：如图在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底边AC=的等腰三角形，且，面与面ABC成，与交于点E。（1）求证：；（2）求异面直线AC与的距离；（3）求三棱锥的体积。答案：①证：取AC中点D，连ED，//又是底角等于的等腰， ②解：由①知是异面直线AC与的距离，为③连【课内练习】1．球与它的内接正方体的表面积之比是 （ 　）A． B． C． D．答案：C。解析：。2．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是 （ ）A、 B、 C、 D、 答案：D。解析：。3．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 （ ）A、 B、 C、 D、答案：：D。解析：当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多最多可盛原来水得1－4．两球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为 答案： 4:9 。解析：。5．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.答案为：。解析：。6. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_____(填”大于、小于或等于”).答案：小于。解析：V球=V正，∴，∴S球=，S正=，∴S球S正。 7．已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.答案：解:设圆台的母线长为,则圆台的上底面面积为 圆台的上底面面积为 所以圆台的底面面积为 又圆台的侧面积，于是，即为所求.8．如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。答案：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。（2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a，∴其体积。又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为，∴其体积。∵，即，∴故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。（说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等）9．如图，直三棱柱的底面为Rt△AB