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空气中声音传播方程的推导 数学与应用数学2011级 作者： 王锴丰，王保山，王冬羽 问题提出： 由物理性质可知声音的本质是介质的机械震动，由波动方程与震动现象的联系，物理属性的时空分布可以由波动方程导出，弦的波动方程也是声音发生的一种情况之一，现讨论声音在空气中的传播，由声学基础可知声场的的物理特征可由密度，压强，速度刻画，根据模型所满足的基本假设和遵循的物理规律，从而导出声波方程，并求解出普通声源产生声波在均匀空间中的传播的状态方程。 2.理想假设： 1.空气在压强为101.325kPa、温度为20℃的条件下，空气动力粘度和运动粘度为： 空气 ， 可以近似为理想流体，所谓理想流体介质，就是介质在运动过程中没有能量的损耗，即介质是无粘的不考虑切向力。 2.还必须假设介质是连续、静态和均匀的流体因此媒质中质点速度为零，静态压强 ，静态密度 都是常数。 3.由理想气体的状态方程温度变化会影响压强，未排除这种干扰，将声音在空气中传播的过程视为等熵绝热过程，介质之间不会产生热交换。 4.讨论的都是小振幅声波即各类声学变量都是一级微量，（ 4 ）媒质中传播的是小振幅声波，各声学参量都是一级微量，声压甚小于媒质中静态压强 ；质点速度 甚小于声速 ；质点位移 甚小于声波波长 ；媒质密度增量甚小于静态密度；或密度的相对增量 小于 1。 5.声源相对于传播空间来说很小，可视为一个半径非常小的球体，故由对称性声音在空间中的各点的特征（声压，质点速度，以及密度）相对于声源来说球对称，.只与半径r有关。 3.模型建立即方程推导 理想介质中声波传播的基本规律可以通过三个方程表示，即：连续性方程、运动方程和状态方程。下面给出所用到的物理参数， 连续性方程： 声场中任意一点 ，以 点为中心选取一边长分别为的体积元，则体积元的体积为。假设某一瞬时，介质质点流过 点的速度向量为 ， 点的密度为 ，则单位时间内从各方向流入体积元的质量为， (1.1) 式中 为 点的速度向量 在三个坐标轴上的投影。流入体积元的质量必然引起体积元内密度的增加，单位时间内体积元内介质密度的增量为 ，则， (1.2) 根据质量守恒定律，得到， (1.3) 即为： (1) 状态方程： 在声波作用下介质的状态发生了变化。由假设2，根据热力学关系，一定质量的气体介质的压强是密度和熵的函数，即 ，这里 表示熵。由于压力和密度变化很小，因此由泰勒级数展开得到， (2.1) 式中下标 代表等熵绝热过程。系数 ， 就是气体介质中小振幅声波的传播速度，故理想介质的 状态方程为， (2) 运动方程: 假设微小质团中心坐标为 ，体积为 ，介质原处于静止状态 ，当声波通过时，由假设一，不考虑切向力，只考虑压力，质团在各个方向上的受力都不均衡，假设压力分布为 ，则作用在 和 面上的总压力分别为， (3.1) (3.2) 因而沿轴正方向的合力为， (3.3） 同样可以得到质团沿轴和轴正方向的合力，介质受到的总的合力为， (3.4) 由于静压强 为常数，因此压强的微小变化也就是声压的微小变化，即 ，所以上式可以改写为， (3.5) 根据牛顿运动定律，得到，