《由RayleighRitz法到FEM.docVIP

由Rayleigh-Ritz法到FEM 1. 引言 Rayleigh-Ritz法中，有一定的局限性：选取位移试函数必须满足位移边界条件，对复杂边界问题，很难做到。此缺陷使得Rayleigh-Ritz法难以应用于复杂工程问题的求解。 有限元方法（Finite Element Method，FEM）可以有效解决Ritz法的缺陷。它将求解区域划分为若干“单元”（Element），通过单元上的插值来构造位移函数的近似解。这样构造出的位移近似解就可以很容易地满足复杂边界上的位移边界条件。所以，FEM可以看成是Ritz方法的推广。 FEM和Ritz方法的实现过程基本相同，即包含以下三个主要步骤： ① 构造位移近似解，其中包含待定系数——这一步是FEM与Ritz法的主要区别所在，也是FEM的关键； ② 应用最小势能原理，获得关于待定系数的线性方程组； ③ 求解线性方程组，得到待定系数，代入位移近似解即可得到位移解，进而可得到应变、应力。 下面就按上述步骤来实现平面问题的FEM求解过程。 图1 考虑图1所示的平面弹性体。由于形状复杂，无法按照Ritz法的要求给出在内部连续、在位移边界上满足位移边界条件的位移近似解。FEM的重要突破在于：将求解区域划分为若干个element。以element为单位可以很容易地构造位移近似解。 2. 单元剖分 FEM的第一步是：将求解区域（弹性体）划分为element。平面问题常用三角形element和四边形单元，其中，三角形element最通用、最简便，所以这里以三角形element为例。四边形element的实现过程类似。 图1中，求解区域被划分为若干个三角形element。其中，element的角点（即三角形的顶点）称为节点（node），图中用红色正方形点标出。 2.1 单元划分的要求 一般地，FEM中的element划分有如下两个基本要求： ① Element角点不能在其它element的边上。如图2所示的单元划分是不允许的，因为其中单元def的一个角点d落在单元abc的边ac上，同样，角点a和c也落在单元边界gd和dh上。 图2. ② Element的形状要尽可能的接近正三角形（每个内角为60度）。有一个角很小的情况称为单元畸形，如图3所示的两个单元是畸形的。畸形单元的存在会影响FEM分析结果的精度，应尽量避免。 图3. 2.2 单元和节点编号 将求解区域划分为单元之后，为了方便处理，需要对所有单元和节点分别进行编号。图4中，分别对5个elements和6个节点进行了编号，单元编号为黑字，写在单元中心位置，节点编号为带括弧的红字，写在相应节点附近。 图4. 需要注意，单元和节点的编号顺序可以是任意的，不会影响分析结果。但是，后面将会看到，不同的编号会影响最终形成的线性方程组的系数矩阵的形式和线性方程组的求解效率，因此在FEM解决大规模工程问题中要予以考虑。 3. 近似位移的构造 在获得单元剖分之后，下一步就是FEM的关键步骤：位移近似解的构造。下面首先以一元函数的逼近来说明构造方法。 3.1 一元函数的线性插值 数学中的函数插值理论告诉我们，如果已知函数在一系列点处的值，则函数可以用如下的分段线性函数来近似 其中，为插值形函数（Shape function），线性插值对应的形函数被许多文献称为hat function，因为它的图像像个草帽。图5中用不同颜色画出了三个线性插值形函数的图像，可以看出，是分段线性函数。 图5 形函数是数学上定义的，它的重要性质是：只于坐标有关，与被插值的函数无关。因此，只要坐标给定，插值函数的形式就确定了。线性插值的形函数的表达式为 可以看出，在点处值为1，而在其余插值点处值为0。虽然这个性质是从上述线性插值函数的表达式中看出的，但所有高次（二次、三次等）插值函数都具有此性质。 式给出的函数和它的分段线性近似的关系如图6所示。 图6. 注意，本问题中的坐标相当于函数的定义区间的一个“单元划分”。当给定这种单元剖分之后，就可以按式定义一组形函数，它实质上是区间上的一组基函数，既然如此，定义在这个区间上的任意函数都可以用这组基函数的线性组合去近似，于是就有了式中的函数近似展开式。 式的另一个优良特点是：展开系数就是函数在第点上的值。因此，可以想象，如果Ritz法中的位移按类似于式的形式去展开，则待定系数就是要求的位移在节点上的值，后面会看到，这给位移边界条件的施加提供了方便。 3.2 三角形单元上的线性插值 上面以简单的一维情况为例说明，通过插值，可以简便的构造任意函数的近似式。这个思想可以推广到二维（平面）问题之中。事实上，对于任意二维区域（如图1），在进行单元划分之后，都可以构造出一组形函数（或者叫基函数）。 现考虑如图1所示的问题