破解折疊问题的“三步曲”--08-6--1.docVIP

破解折叠问题的“三步曲” 折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量关系，因为是从平面跃然而到空间思维跨度大，由静到动，能综合考查学生的空间想象能力，识图能力及分析能力，是近年来高考的热门题型，要解决好此类问题笔者认为应从以下三点着手： 第一步：看两图 两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，有时候题目中可能只给出平面图形，这就需要我们自己去画立体图形，我们应该对比两个图形，思考下面的问题； 折痕是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是引发后面问题的“罪魁祸首”，呵呵，这么说只是强调一下折痕的重要地位，盐打哪儿咸，醋打哪儿酸，解决折叠问题的思维起点，位置与数量关系的变化皆与折痕有关，要明确一点：位于折痕同一侧的点，线的关系是不变的； 折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。 折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？ 第二步：挖掘折叠特征 折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，我们应该充分理解、挖掘这个特征，常见的折叠特征有以下三种： （1）将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况我们就应该找到这个二面角的平面角，在立体图中标出； （2）使几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的；比如若A,B两点重合记为点P的话，我们可以在图上标记为P(A,B),这样便于翻折前后的对比； （3）使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点； 第三步：结合问题，寻找不变量 通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间形态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来寻找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变的垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系“这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些量是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！ 上述三步曲是解决折叠问题的总的规律，在实际解题中应灵活运用，下面举例说明在解题中，我们如何走好这“三步”，重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的： 一、不变的垂直关系 例1：如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，将和沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P,求 求证：；（2）二面角P-CD-E的度数; 分析：从翻折的过程可以看出，这两个垂直关系是不变量，而翻折后A,B重合为P，故在立体图中有，问题得解； 解：（1）由翻折过程可知，，故；（2）取CD中点F,连接PF,FE,在原平面图形中，AD=BC,ED=EC,翻折后A,B重合为P,故PD=PC,可知,则是二面角P-CD-E的平面角，设正方形边长为a，得，，，则二面角P-CD-E的度数为30° 二、不变的长度关系 例2（2007安徽文）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为（　　） Ａ． Ｃ． Ｂ． Ｄ． 分析：原题是没有图的，需要我们自己画出前后两个图形，折叠特征是直二面角，哪个角是它的平面角？这两组垂直关系是不变的，故就是二面角的平面角，则，那么如何确定A,B,C,D四点所在的球心呢？找不变量！通过比较两图可以发现，折叠前A、B、C、D四点是共面的，翻折后不再共面，这是变化的量，而正方体中心O到四个顶点的距离是不变的，即在折叠前后中始终有，所以O就是翻折后四点所在球的球心，易得该球半径，而D,B两点在球中所对球心角为，球面距离，故选B. 三、不变的平行关系 例3： （2006高考辽宁卷）已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，求证： 分析：要证明,只需证明BF与内的一条直线平行即可，而比较翻折前后的图形可以发现，这个平行关系是不变量，命题得证； 解：、分别是正方形的边、的中点，则 四边形是平行四边形 平面而平面 平面 练习： （1）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积是（ ） （2）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度为 （ ） A．90°B．60° C． （D） （3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为 (A) (B)