“双勾函数”的性质及应用.doc

“双勾函数”的性质及应用 问题引入：求函数的最小值． 问题分析：将问题采用分离常数法处理得，，此时如果利用均值不等式，即，，而显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值不是 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如（为常数）的函数称为勾函数．（为常数） 3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质 ①当时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 ． ②当时，在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值． （2）“双勾函数”性质的探究 ①当时，在左侧，随着的增大而减小；在的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 ． ②当时，在的左侧，随着的增大而增大；在的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值． 综上知，函数在和上单调递增，在和上单调递减．：定义法．设R，且，则 ． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先，∴就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令，可得到，因此又找到两个分界点，．这样就把的定义域分为，，，四个区间，再讨论它的单调性． 设，则，，， ∴． ∴，即． ∴在上单调递减． 同理可得，在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减． 故函数在和上单调递增，在和上单调递减． ：由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．设，求在上的最大值与最小值． 分析：将配方，得对称轴方程， 当时，抛物线开口向上． 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，抛物线开口向． 若必在顶点取得最值，离对称轴较远端点处取得最值； 若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最值，较近端点处取得最值．上，作图可得结论． 当时， ； ． 当时， ； ． （2）“双勾函数”的区间最值 设，求在上的最大值与最小值． 当时，． 若必在处取得最小值，最大值； 若，此时函数在上具有单调性，故在离较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，． 若必在处取得最值，最值； 若，此时函数在上具有单调性，故在离较远端点处取得最值，较近端点处取得最值．上，作图可得结论． 当时， ②当时， 二、实践平台 例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在吨至吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为 ．问： （1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本； （2）每吨平均出厂价为万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润． 分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解． 解：（1）由题意可知，每吨平均成本为万元． 即，因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数． 所以当时，函数有最小值为（万元）， 所以当年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为万元． （2）设年获得总利润为万元， 则， 当，， 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元． 评注：本题的关键是用年产量吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题． 例甲、乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过km/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为，固定部分为元． （1）把全程运输成本（元）表示为(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域． （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶． 分析：要计算全程的运输成本()，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本()，所要解决的问题是求何时取最小值，显然要对的大小进行讨论，讨论的标准也就是与的大小． 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，因此全程运输成本为，又据题意，故所求函数及其定义域分别为： ，． （2）设， ∴在上是减函数，在上是增函数． ①若，时运输成本最小． ②若，函数在上单调递减，所以当时，全程运输成本最小． 　 ：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题． 在R上有定义，对任意实数和