2017年考研数学二试题及详解.docx

2017年考研数学二试题及详解一、选择题（1）设，则（　）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】所以，从低到高的顺序为a2,a3,a1,选B.（2）已知函数，则的一个原函数是（　）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】对函数做不定积分可得原函数，，因此选择D.（3）反常函数①，②的敛散性为（　）.A. ①收敛，②收敛B. ①收敛，②发散C. ①发散，②收敛D. ①发散，②发散【答案】B【解析】①收敛。②发散。所以，选B.（4）设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则（　）.A. 函数有2个极值点，曲线有2个拐点B. 函数有2个极值点，曲线有3个拐点C. 函数有3个极值点，曲线有1个拐点D. 函数有3个极值点，曲线有2个拐点【答案】B【解析】根据图像可知导数为零的点有3个，但是最右边的点左右两侧导数均为正值，因此不是极值点，故有2个极值点，而拐点是一阶导数的极值点或者是不可导点，在这个图像上，一阶导数的极值点有2个，不可导点有1个，因此有3个拐点.（5）设函数具有二级连续导数，且，若两条求曲线在点处具有公切线，且在该点曲线的曲率大于曲线，则在的某个邻域内，有（　）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】因y=f1(x)与y=f2(x)在(x0,y0)有公切线，则f1(x0)=f2(x0), f1’ (x0)=f2’(x0)又y=f1(x)与y=f2(x) 在(x0,y0)处的曲率关系为k1k2.从而在x0的某个领域内f1(x)与f2(x)均为凸函数，故f1(x)≤g(x), f2(x)≤g(x),排除C,D.令F(x)=f1(x)-f2(x),则F(x0)=0，F’(x0)=0, F”(x0)0.由极值的第二充分条件得x=x0为极大值点。则F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x),综上所述，应选A.（6）已知函数 ，则（　）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】选D.（7）设是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（　）.A. 与相似B. 与相似C. 与相似D. 与相似【答案】C【解析】因为与相似，因此存在可逆矩阵，使得，于是有：，即，，因此，，因此，而C选项中，不一定等于，故C不正确，选择C.（8）设二次型的正、负惯性指数分别为1,2，则（　）.A. B. C. D. 或【答案】C【解析】所以，-2a1,所以，选C.二、填空题（9）曲线的斜渐近线方程为________________.【答案】【解析】所以，斜渐近线方程为（10）________________.【答案】【解析】（11）以和为特解的一阶非齐次线性微分方程为________________.【答案】【解析】x2-(x2-ex)为对应齐次方程组的解，即ex是y’-y=0的解；（12）已知函数在上连续，，则当时，_________.【答案】【解析】（13）已知动点在曲线上运动，记坐标原点与点间的距离为.若点的横坐标对时间的变化率为常数，则当点运动到点时，对时间的变化率是________________.【答案】【解析】（14）设矩阵与等价，则________________.【答案】2【解析】三、解答题（15）（本题满分10分）求极限.【答案】【解析】（16）（本题满分10分）设函数，求并求的最小值.【答案】为最小值，最小值为【解析】当0x1时，为最小值点，最小值为.当x≥1时，令f’(x)=2x=0,得x=0(舍)∴f(x)的最小值为.（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定的极值.【答案】极大值为【解析】（1）方程①两边对x,y分别求偏导得②③令得，解得z=0（舍）或y=x.∴当x≠0时，代入原式得解得x=-1,y=-1,z=1,则（-1，-1）为驻点。（2）②式两边对x,y分别求偏导得，④⑤③式两边对y求偏导得⑥将x=-1,y=-1,z=1代入⑤⑥得∴x=-1,y=-1为极大值点，极大值为z=1.（18）（本题满分10分）设是由直线围成的有界区域，计算二重积分.【答案】【解析】（19）（本题满分10分）已知函数是二阶微分方程的两个解，若，求并写出微分方程的通解.【答案】，为任意实数【解析】（20）（本题满分11分）设是曲线与围成的平面区域，求绕轴转一周所得旋转体的体积和表面积.【答案】体积为，表面积为【解析】D的图形如下图所示，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看作两个体积之差，即故（21）（本题满分11分）已知函数在上连续，在内是函数的一个原函数，且（1）求在区间上的平均值；（2）证明在区间存在唯一零点.【答案】（1）（2）证明略.【解析】（22）（本题满分11分）设矩阵，且方程组无解，（1）求的值（2）求方程组的通解.【答案】（1）（2）通解为，其中为任意常数.【解析】（1）增广矩阵为：方程组无解，那么系数矩阵的秩与增光