用非函數法解解析几何中的一类最值问题.docVIP

例谈求解最值问题的数形结合方法 721000陕西宝鸡渭滨中学 彭宏伟 我们知道，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。有关最值问题在解析几何中占有相当重要的地位。因为最值问题涉及到圆锥曲线的定义、方程、几何性质等内容，综合性强，所以也是高考考查的重点。大多数最值问题均可转化为函数问题来解决，但也有相当一部分题目，虽然可以引入变量，建立目标函数，但是它们的最值利用初等方法不易或不能求出，这时就需要考虑一些其他的非函数的方法来解决。下面就是自己在教学中的一点体会。 利用圆锥曲线的定义 有关圆锥曲线的最值问题，利用圆锥曲线的定义，常常使问题的解决显得非常巧妙！ [题１]：若点Ａ坐标为（３，２），Ｆ为抛物线y2=2x的焦点，点Ｐ在该抛物线上移动，为使|ＰＡ|＋|ＰＦ|取得最小值，点Ｐ的坐标为________________。 分析：如图１，设点Ｐ（x,y）+ 此函数很难用初等方法求得最值，但是联想抛物线定义，注意到 |ＰＦ|等于点Ｐ到抛物线准线Ｌ的距离，由点Ｐ向Ｌ作垂线，垂足为Ｂ，则|ＰＡ|＋|ＰＦ|＝|ＰＡ|＋|ＰＢ|。由平面几何知识，当Ａ、Ｐ、Ｂ三点共线时，其值最小，易知此时点Ｐ坐标为（２，２）。 在椭圆、双曲线中也有类似的问题（如题２） [题２]：已知椭圆，右焦点Ｆ，定点Ａ（），动点Ｐ在椭圆上移动，求点Ｐ使|PA|+|PF|最小。 分析：如图2，用椭圆的第二定义可得，答案是（）。 这类问题的一般形式是：已知Ａ是圆锥曲线内部（含焦点的区域）不同于焦点的一个定点，Ｆ是一焦点，Ｐ是圆锥曲线上一动点，求|AP|+|PF|的最小植（e是圆锥曲线的离心率）。而解这类问题的通法是圆锥曲线的第二定义。 [题3]：已知椭圆，A（1，1），F1、Ｆ２分别是它的左、右焦点，在椭圆上求一点使得|PA|+|PF１|最小。 分析：此题可用椭圆的第一定义解得（如图3） |PA|+|PF１|＝（2a-|PF2|）+|PA|=2a+（|PA|-|PF2|） 而||PA|-|PF2||≤|ＡＦ２|　显然，当点Ａ、Ｐ、Ｆ２三点共线且|PA|-|PF2|=-|ＡＦ２|时，其和最小为2a-|ＡＦ２|=10-，不难通过直线ＡＦ２的方程与椭圆方程联立方程组求得点Ｐ坐标（纵坐标大于零）.此时，点P 在点 Q 处。 当然也可求得其最大值，当|PA|-|PF2|=|ＡＦ２|时，其和最大为2a+|ＡＦ２|=10+ 利用对称原理 [题４]：求函数y=的最小值。 分析：此题用初等方法很难求得最值，把数的问题转化为形的问题将原式变形为y= 上式可视为Ｘ轴上任一点Ｐ(x,0)到Ａ(-)的距离与这点到 B()距离之和（如图4） 利用对称原理，考察Ａ点关于Ｘ轴对称点Ａ‘，连|PA／|， 则|PA|＝|PA／|， |PA|＋|PB|=|PA／|+|PB|, 而|PA／|+|PB||AB|。 显然当点Ｐ在O点时，其和最小为２。 亦可用类似的方法求解下题：求函数y=的最大值。 利用平面几何知识 [题５]：已知直线Ｌ：y=x-2,点A(1,1)和点Ｂ(-1,1),在直线Ｌ上找一点Ｐ，使得∠APB最大，求此时点Ｐ坐标。 分析：此题可设点Ｐ坐标，用到角公式建立函数关系，但显得过繁。由平面几何知识，当过Ａ、Ｂ两点的圆与Ｌ相切时，切点即为所求，可证明如下（如图5）： Ｐ为切点，Ｑ不是切点，连BQ交⊙Ｃ于Ｄ，连AD，显然 ∠APB=∠ADB∠AQB 由几何知识，圆心Ｃ在线段AB的垂直平分线y轴上，可令Ｃ(0,a)则|AC|=|CP|，即 解得a=0或８，满足条件的圆有２个，但只有a=0时，∠APB最大，此时Ｐ点坐标为(1,-1)。 （此文在华中师大《数学教学》2006年第11期发表） 3