用空間向量处理立体几何的问题.docVIP

用空间向量处理立体几何的问题 立体几何着重的是研究点、线、面之间的关系，研究空间三种位置关系(即空间直线与直线、直线与平面、平面与平面)以及三种角(异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角)的计算。自上海高考试卷内容改革以来，纯粹用立体几何的公理、定理来证明或计算立体几何问题越来越少，而借助于向量的计算方法来处理立体几何的问题却越来越多。本讲座就是详细讲述运用空间向量处理立体几何的问题的方法。 一、知识再现 1、 2、空间向量： (1)空间直角坐标系 (2)向量的直角坐标运算 (3)夹角和距离公式 (4)平面的法向量 二、用向量处理角的问题 1、异面直线所成的角（0°90°） 求异面直线AB与CD所成角的计算,可以先转化为计算向量与的夹角,即计算 注意,由于两向量的夹角范围为,而异面直线所成角的范围为，若两向量夹角为钝角,转化到异面直线夹角时为180° 2、直线与平面所成的角（0°90°） 斜线PA与平面所成角的计算,可以先求向量与平面的法向量之间的夹角,然后利用余角关系求出斜线与平面所成的角。也可以直接转化为斜线PA与PA所在平面内的射影的夹角，同1计算。 3、二面角的平面角的计算（0°） 求二面角的平面角，可以先求组成二面角的两个半平面的法向量之间的夹角，然后再确定二面角的大小。 例1、如图在直三棱柱ABO-A’B’O’中，OO’=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，P是侧棱BB’上的一点，D为A’B’中点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小。 分析:怎么建立空间坐标系 (1)利用现有三条两两垂直的直线； (2)注意已有的正、直条件； (3)相关几何知识的综合运用。 例2、如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且BO=OO1=2，OA=， 求：(1)二面角O1-AB-O； (2)异面直线A1B与AO1所成角的大小。 例3、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，PG=4，E是BC的中点， 求：(1)求异面直线GE与PC所成的角； (2)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值。 三、用向量处理距离和平行问题 例4、如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。 例5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1。 四、用向量处理垂直问题 例6、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E、F分别是CC’、BD的中点，求证：A’F⊥平面BDE。 例7、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2，BB1=2，D为A1C1的中点，E为B1C的中点。 (1)求直线BE与DC所成的角。 (2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由。 (3)若F为AA1的中点，求C到面B1FD的距离。 五、高考题回顾 例8、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在有平面ABD上的射影是⊿ABC的重心G， (1)求A1B与平面ABD所成角的大小； (2)求点A1到平面AED的距离。 例9、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M， (1)求证：CD⊥平面BDM； (2)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。 六、方法小结 1、求点到平面的距离 2、求异面直线的夹角 3、求二面角 4、平行 5、总结 上海市顾村中学 陆进生 5 点、线、面关系 直线与平面位置关系 1、直线与平面平行 (1)定义 (2)判定 (3)性质 2、直线与平面相交 (1)直线与平面所成的角 (2)射影长定理 两平面位置关系 1、两平面相交 二面角及其平面角 2、两平面平行 (1)定义 (2)性质 (3)判定 两直线位置关系： 1、相交 2、平行 3、异面 直线与平面垂直 1、定义 2、判定 3、性质 两平面垂直 (1)定义 (2)判定 (3)性质 三