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用初等方法解决一些级数的求和问题 摘要： 级数求和的方法较多，本文通过分析例题，尝试用初等方法解决某些级数的求和问题. 关键词：级数；求和；初等方法 1. 引言 级数理论和应用在数学本身和其它科学技术的发展中都扮演着很重要的角色，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.本文通过列举法、描述法和文献研究法展示了一些级数求和的初等方法，帮助大家方便快捷、有效地解决级数求和问题. 2. 级数发展简介 在漫漫的历史长河中，级数的出现很早．在古希腊时期，亚里士多德就能求出一些几何级数的和，同时在这时期对级数发展作出贡献的人还有很多，比如芝诺、阿基米德等. 在中世纪时期，由于一些关于无穷思想的激烈争论，使无穷级数也迅速地发展起来，最具代表的是法国数学家奥雷姆用最初等的方法证明了调和级数 的和为无穷，用现在的形式可表示为 级数的发展是漫长的，就像人的一生一样，会经历很多磨难，而在这过程中，它需要不断地完善． 级数一般分为两类：一是数项级数；二是函数项级数.其中函数项级数是表示非初等函数的一个重要工具．如有些微分方程的解不是初等函数，但是可以用函数项级数来表示.另外，它的应用也相当广泛，比如：自然科学、工程技术、数学本身等. 级数求和的方法有很多，但是都离不开级数的概念这一点，要更好地掌握级数的求和方法，首先就是要对其概念理解通透，在理解概念的基础上去探索，不断地找寻，同时也要注意观察级数本身的特点，根据其特点选择适当的方法会使求和更简便、快捷. 本文主要是尝试用初等方法求某些级数的和.这里所说的初等方法所指的是不用逐项微分和逐项积分，不用傅里叶级数，不用解微分方程的方法，而是用诸如定义法、拆项法等基本属于初等数学的方法.下面采用举例的方式对级数求和的方法进行说明，这可以使我们较容易地掌握级数的求和方法. 3. 数项级数求和的初等方法 级数求和的常用方法一般直接用定义法、拆项法、公式及四则运算法等.下面对级数求和的方法举例进行说明. 3.1定义法 用定义法求级数和就相当于求级数部分和数列的极限.由于当时，部分和的项数无限增多，因此为了求的极限，必须设法把简化至解出极限. 例1　计算. 解：设， 两边同时乘以，得 即， 由此方程可得，则 ， 所以，. 3.2 拆项法 首先观察所给级数的结构特点，进行拆分，拆分以后可以消去一部分项，让通项由复杂变简单，从而使得求和变得更简便. 例1 求 . 解： ． 例2　求和， . 解：利用拆项法，得 再利用基本展开式，有 　 又 可得 又当时，显然有. 在例2中，我们可以看到，除了运用了拆项法以外，还用到了初等函数的幂级数展开式． 3.3 四则运算求和 四则运算求和就是通过运用加、减、乘、除等简单的运算来求级数的和，它的特点是简洁、易懂，没有复杂的运算等．通常是把所求的级数转化为等差数列和等比数列，所以要熟练掌握等差数列和等比数列的性质.另外，可能运用分子有理化或分母有理化． 例1　计算. 首先观察所给式子的结构，不难发现在题目给出的式子中，分子都是奇数，而且它们可以构成一个等差数列，再看分母部分，发现分母可以构成一个等比数列.则取有限项 ， 然后用乘以得到，再用减去可以得到一个式子，而这个式子的一部分构成一个等比数列，这样就可以求出． 解：设 ， （1） 则 ， （2） 由（1）-（2），得 故， ． 所以，． 例2　求和. 观察通项可以发现其中含有，不妨先进行分母有理化． 解：对通项实行分母有理化后，可得 有 则． 3.4 部分和的极限 部分和的极限就是把所求级数的无限项变为有限项，然后再求这个有限项的极限，所得的极限就是所求级数的和. 例1　求和，. 解：记部分和 （1） 又 　　 （2） 由（1）减去（2），得 故 ， 取极限可得． 公式法 利用一些常用的公式、性质以及一些常用函数的展开式来对级数进行求和，把这种