《成考专升本高等数学二复习资料修改资料.docVIP

函数、极限和连续 §1.1 函数 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时, 若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性： 首先要证明定义域对称：才有下面，否则是非奇非偶 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数（六个基本初等函数，1.常数函数，2.幂函数，3.指数函数，4.对数函数，5.三角函数，6.反三角函数。） ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数（重点要记住，初等函数在定义域里连续。 §1.2 极 限 主要内容 ㈠极限的概念 数列的极限: 称数列以常数A为极限; 或称数列收敛于A. 定理: 若的极限存在必定有界.（反过来就不一定成立，自己想想） 2.函数的极限： ⑴当时，的极限： ⑵当时，的极限： 左极限： 右极限： ⑶函数极限存的充要条件： 定理： 上述定理通常用于证明极限是否存在。 ㈡无穷大量和无穷小量 无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。 X再某个变化过程是指： 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。 无穷大量与无穷小量的关系： 定理： 无穷大量与无穷小量是倒数关系。 无穷小量的比较： 无穷小量和无穷大量的性质 上述要理解。 定理：若： 则： ㈢两面夹定理（又称夹逼定理） 数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3…） 且： 则： 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则： ㈣极限的运算规则 是极限的性质，在读专科的时候就要熟悉。 ㈤两个重要极限 1． 或 2． 在证明0/0型极限的时候大家要用无穷小代换定理和 §1.3 连续 主要内容 ㈠ 函数的连续性 函数在处连续：在的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续： 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在 函数在处连续的充要条件： 定理： 函数在上连续： 在上每一点都连续。 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。 注意区分区间联系和点联系的定义。 函数的间断点： 若在处不连续，则为的间断点。 间断点有三种情况： 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 2o第二类间断点： 3．无穷间断点： ㈡函数在处连续的性质 连续函数的四则运算：（自己看书。不在列出来） 复合函数的连续性： 反函数的连续性： 以上看书。书上重点列出。 ㈢函数在上连续的性质 1.最大值与最小值定理： 在上连续在上一定存在最大值与最小值。 先求驻点， 求出驻点和A点及B点的函数值。 最大为最大值，最小为最小值。 有界定理： 3.介值定理： 在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 推论： 在上连续，且与异号 在内至少存在一点，使得：。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学（重点） §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：在