《公式法与韦达定理.docVIP

公式法解一元二次方程推导 ax2+bx+c=0 x2++=0 x2+=- x2++ =-+ (x+)2 = x= 根的判别式(b2-4ac) 方程有两个不相等的实数根. 方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 方程没有实数根. 例：关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有. 解： 因为方程有实数根， 即： 根与系数的关系-韦达定理 如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有： 例：已知一元二次方程的两根，则____，____. 解：根据韦达定理得： 例：(利用根与系数的关系求值)若方程的两根为，则的值为_____. 解：根据韦达定理得： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， 例利用根与系数的关系构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。 练习若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D． 练习若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ． 常考题型及其相应的知识点： (1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题： 例1：关于的一元二次方程有一根为0，则的值为______. 例2：一元二次方程 的一个根为，则另一个根为_______. 四、拓展延伸： 1、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长． 拓展应用:关于的一元二次方程的一个根是,则 ; 方程的另一根是 已知关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由。 已知方程，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。 在关于的方程中， 当两根互为相反数时的值； （2）当一根为零时的值； （3）当两根互为倒数时的值 已知一元二次方程的两个实数根满足，，，分别是的，，的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若，求的度数。 9、在中，，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于的方程的两个实数根，求的值。 例题1： （1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k= ________ （2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = __________ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a?5b=30ab 解法二：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab 解法三：∵ab=1， a+b=-2000 ∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) ?b( a +2005+b) =a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab 例题2： 已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另一条边c=1， 求:k的值。 韦达定理在解题中的应用 一、直接应用韦达定理 若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理． 例 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值． 二、先恒等变形，再应用韦达定理 若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理． 例 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y． 三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理 例