《全国理教参选考.docVIP

第一节　相似三角形的判定及有关性质 1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． (2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理 (1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方． (2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 4．直角三角形相似的判定定理 (1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5．直角三角形射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 考点一 平行线截割定理的应用 　 [例1]　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF. [自主解答]　∵AD∥BC， ∴＝＝＝，∴＝. ∵OE∥AD，∴＝＝. ∴OE＝AD＝×12＝， 同理可求得OF＝BC＝×20＝，∴EF＝OE＋OF＝15. 本例条件不变，求证：OE＝OF. 证明：EF∥BC，ADBC， EF∥AD∥BC. ∵EF∥BC，＝，＝. 又EFAD∥BC，＝. ＝， OE＝OF.　　　　　 平行线截割定理的作用 平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比． 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比． 解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝(3＋4)h∶(2＋3)h＝7∶5. 考点二 相似三角形的判定与性质 　 [例2]　(2013·辽宁高考)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE. 证明：(1)FEB＝CEB； (2)EF2＝AD·BC. [解析]　(1)由直线CD与O相切，得CEB＝EAB. 由AB为O的直径，得AEEB，从而EAB＋EBF＝； 又EFAB，得FEB＋EBF＝， 从而FEB＝EAB. 故FEB＝CEB. (2)由BCCE，EFAB，FEB＝CEB，BE是公共边， 得RtBCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证：RtADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在RtAEB中，EFAB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC. △ABC中，AC＝6，BC＝4，BA＝9，ABC∽△A′B′C′，且A′B′C′的最短边的长度为12，求它的最长边的长度． 解：由ABC∽△A′B′C′及AC＝6，BC＝4，BA＝9可知，A′B′C′的最短边为B′C′，最长边为B′A′， 又＝，即＝，B′A′＝27. 考点三 射影定理及其应用 　 [例3]　 如图所示，在ABC中，CAB＝90°，ADBC于点D，BE是ABC的角平分线，交AD于点F，求证：＝. [自主解答]　BE是ABC的角平分线， ＝， ＝. 在RtABC中，由射影定理知， AB2＝BD·BC，即＝. 由得＝， 由得＝. 巧用射影定理解题 已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项． 如图所示，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F. 求证：AE·AB＝AF·AC. 证明：AD⊥BC， ADB为直角三角形， 又DE⊥