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数据、模型、决策 DMD统计学第1章 事件与概率概念事件随机事件定义试验中可能出现或可能不出现的情况叫 “随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等性质任何事件均可表示为样本空间的某个子集.两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件比如事件{出现点数不超过6} 不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（Φ）比如事件{出现点数为8} 基本事件样本点不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间基本事件的全体（全集）概率概念用来度量随机事件发生的可能性大小的数值性质必然事件的概率为1，表示为P (Ω )=1不可能事件发生的可能性是零，P(Φ )=0随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1三种定义下面概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途径古典定义古典概型（等可能概型）比如抛骰子试验特点每次试验的可能结果有限(有限性)每个试验结果出现的可能性相同(等可能性)公式统计定义当试验次数 n 很大时，事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义 p 为事件A发生的概率￡计算概率的统计方法当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）频率方法数学定义概率P是一个集合函数，满足非负性对任意事件A，有 0 ≤ P(A)≤ 1规范性必然事件的概率为1P (Ω )=1不可能事件的概率为0P(Φ )=0可加性若A与B互斥，则：P ( A+B ) = P ( A ) + P ( B )对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有：P ( A1+A2 +… +An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )概率的计算概念简单问题的概率一般可以直接根据定义计算，但复杂问题的概率需要借助有关法则和公式来完成两个法则加法法则用于求P(A+B)——“A发生或B发生”的概率互斥事件互补事件不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件公式例如例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6 相容事件性质两个事件有可能同时发生有公共样本点公式例题某公司有100名员工，男员工中，15名是管理人员，45名是普通员工，女员工中，5名是管理人员，35名是普通员工。从公司中任取一人，求此人是管理人员的概率；此人是普通员工的概率.按”互斥事件“分析按”互补事件“分析图表分析频率方法乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。—也即 “A发生且B发生”的概率 P(AB) 条件概率定义在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)公式其中 P(B) 0性质P(A|B)＝在B发生的所有可能结果中AB发生的概率即在样本空间?中考虑的条件概率P(A|B)， 就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了公式特例如果事件A与B相互独立,即A的概率与B发生与否没有关系, B的概率与A发生与否没有关系,那么P(AB)=P(A)P(B).例子抛硬币试验公司员工图表法第2章 随机变量及其分布随机变量定义表示随机试验结果的变量性质取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z...来表示， 具体取值则用相应的小写字母 如x、y、z…来表示分类离散型随机变量取值可以一一列举连续型随机变量取值不能一一列举随机变量的概率分布离散型定义X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系。性质例子表示概率函数分布列分布图分布函数连续型（概率密度）表示数学函数概率密度函数f (x)性质（1） f (x)≥0。概率密度是非负函数。（2）所有区域上取值的概率总和为1。随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：分布函数F (x)定义F(x)＝P{X≤x}与概率密度函数的关系图形概率密度曲线分布函数曲线性质概率密度函数f (x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示数字特征数学期望定义又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置分类定义离散型随机变量 X连续型随机变量x性质若k是一常数，则E (k X) ＝k E(X)对于任意两个随机变量X、Y，有E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则E(XY)＝E(X) E(Y)方差和标准差定义方差定义方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)公式分类离散型连续型不要求标准差定义方差的平方根性质方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平数学性质若k是一常