《不等式性质和解法.docVIP

精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：高三 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 不等式性质和解法 教学目的 1．掌握并能运用不等式的性质，灵活运用实数的性质； 2．掌握比较两个实数大小的一般步骤； 3．掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法。 教学内容 一、不等式的基本性质 【知识梳理】 1．不等式的性质： ①对称性： ； ②传递性： ． ③加法性质: ． ④乘法性质： ， ． ⑤乘方性质： ；开方性质 ． 2．比较两代数式大小的一般方法是： ． 【典型例题分析】 例1．比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小 把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项 解：由题意可知： （a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4） ＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８） ＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4） 例2．已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小 分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项 解：由题意可知： （x2＋1）2－（x4＋x2＋1） ＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1） ＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1 ＝x2 ∵x≠0 ∴x2＞0 ∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0 ∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1 变式训练1：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何? 在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即： 当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1 当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1 此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写 得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要 例3 . 已知xy，且y≠0，比较与1的大小 解： ∵xy，∴x-y0 当y0时，0，即1 当y0时，0，即1 例4.已知且，求证： (相除法则) 证：∵ ∴ 变式训练1：根据下列的取值范围，求的取值范围． （1）； （2）且； （3）且． 解：（1），∴，所以的取值范围是． （2）且，即或，∴或， 所以，的取值范围是． （3）且，即或，∴或， 所以，的取值范围是． 例5．如果，求证： 证：∵， ?1，∴. 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴. 【课堂小练】 1．设且比较与的大小. 解： 当时，则，∴； 当时，则 ∴， ∴总有． 2．比较与的大小. 解：， ∴． 3．如果 求证： 证：, ∵ ，∴，∴， ，∵ ，∴， ∴. 4．已知 比较与的大小． 解：? 当时，∵即 ， ，∴，∴. 当时，∵即， ， ， ∴，∴. 5．设且求的取值范围． 解法一：设（为待定系数）,则 解法二：由， 【课堂总结】 1．求差比较法来比较两实数或代数式的大小的一般步骤：作差—变形—判断—结论； 2．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负. 3. 在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二 步，作商法是判断商值与1的大小关系； 4.掌握不等式乘法、乘方、开方的有关性质，在进行不等式乘法、乘方、开方的有关运算时特别要注意符号。 二、一元二次不等式的解法 【知识