《一、圆的有关概念和性质A.docVIP

I 圆的相关概念与性质 圆和圆相关的定义： （图一） （图二） （图三） 圆的定义： 如图一，在一个平面内，线段0A绕它固定的的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形就叫做圆。记作⊙O，读作圆O.点O叫做圆心，线段OA叫做半径。确定一个圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径。 弦和直径： (1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图二中的CD. (2)直径：经过圆心的弦叫做直径，如图中的AB.直径等于半径的两倍。 弧： (1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作,读作弧AB. (2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180o用三个字母表示，如图三中的.小于半圆的弧叫做劣弧，如图三中的。 （3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。 （图四） （图五） 4. 同心圆与等圆 （1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图四，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。 （2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图五中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。 （3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。 （图六） （图七） 圆心角和圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图六中的∠AOB.(圆心角的度数等于它所对弧的度数) 圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角，如图六中的∠ACB. 二、其它图形与圆的关系 三角形的外接圆与外心 （1） 不在同一条直线上的三点确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。如图七，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心。 （2） 外心的位置：三角形外心实质上是三角形三条垂直平分线上的交点。锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。 （3） 三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，同时也等于外接圆的半径。一个三角形有且只要一个外接圆，但一个圆有无所个内接三角形。 （图八） （图九） 2. 三角形的内切圆与内心 （1） 切线：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，唯一公共点叫做切点。 （2） 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。如图八，⊙I是△ABC的内切圆，△ABC是⊙I的外切三角形，点I是△ABC的内心。 （3） 一个三角形有且只要一个内切圆，但一个圆有无所个外切三角形。 （4） 三角形的内心是三条角平分线的交点，因此，钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部。 （5） 三角形的内心到三边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径。 （6）如果三角形的三边长为a,b,c.内切圆半径为r,则三角形的面积为S=(a+b+c)r.如果直角三角形的两直角边长为a,b.斜边长为c,则此直角三角形的内切圆的半径r= = ，= 。 （2） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （3） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （5） 圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图十五，如果CD∥AB, 则= （6） a经过圆心，b垂直于弦，c平分弦（被平分的弦不是直径），d平分弦所对的优弧或者劣弧，一条直线如果满足上面四项条件中的两项，也一定满足其它两项。 3. 圆心角、弧、弦、和弦心距之间的关系 （1） 在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等。 （2） 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或者两条弦的弦心距中有一对量相等。那么它们所对应的其余各组量都分