《§6.4反三角函数.docVIP

§6.4　反三角函数 预备知识 ?正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象及性质 ?已知三角函数值，求角 ?诱导公式 重点 ?反正弦函数 ?已知三角函数值，在指定范围内求角 难点 ?反正弦函数的概念 ?已知三角函数值，在指定范围内求角 学习要求 ?了解反三角函数的概念和图象，掌握反三角函数的记号 ?掌握已知三角函数值利用计算器求角的方法，并应用诱导公式将 角转化为指定范围内的角 ?会解任意三角形 　　在第四章我们已经学习了任意角的三角函数，在第五章对三角函数的性质和图象作了进一步的探讨．在本节，我们来看一看三角函数的反函数是怎样的． 　　1. 反正弦函数 　　(1)反正弦函数的定义 　　先来探讨正弦函数 　　　　y=sinx, x?(-?, +?) (1) 的反函数问题．你已经在§6.1中学习了y=f(x) 存在反函数的条件，是x, y之间必须一一对应，反映在图象上，那就是任一平行于x轴的直线与函数图象的交点不能多于一个．正弦函数在其定义域(-?, +?)中显然不满足这些条件．如 　　　　sin=，sin(2k?+)=sin((2k-1)?-)=, k ?Z， 因此对应关系不是一一对应的；从图象上看就更明显了，如图6-19所示，直线y=与正弦曲线有无限多个交点．因此正弦函数(1)的反函数是不存在的！ 但是若把x限制在 sinx的局部区间内，例 如在[-,]内，考虑 函数 y=sinx, x?[-,]　　 (2) 因为它在定义域上单调增加，反函数是存在的(图6-19)．把值域是[-1, 1]的函数(2)(注意它不是正弦函数)的反函数称为反正弦函数． 我们已经知道，“sin”本来就是一个函数记号，你一看见函数sinx，尽管没有具体的x的数学式，但立即能知道函数值是表示什么；函数(2)的反函数的含义也十分明确：与[-1,1]中的任一y对应的是[-,]内唯一使sinx=y成立的那个x．但x无法表示为一个y的数学式．因此我们用一个特殊的函数记号 “arcsin” 来标记．即函数(2)的直接反函数是 x=arcsiny, y?[-1, 1]， 而常规反函数则是 　　y=arcsinx, x?[-1,1] (6-4-1) 　　按照通用函数记号表示，y=f(x)的常用反函数用y=f –1(x)表示，因此，在很多场合，我们又把函数(2)的反函数，即反正弦函数表示为 　　　　y=sin–1x, x?[-1,1] (6-4-2) (注意不要把sin–1x与正弦函数值sinx的-1次幂混淆，后者表示为 (sinx)–1．) 反正弦函数(6-4-1)的值域是[-,]，只要把函数(2)的图象，关于直线y=x作对称，就是反正弦函数(6-4-1)的图象(见图6-20)． 注意，根据弧长公式s= r?x (r为半径，x为弧所对中心角的弧度)，在单位圆上(见图6-21)，x既是角度，又反映对应弧AP的长度，而sinx是正弦线MP．AP的长度MP的长度，即 ?sinx??x?， 表现在图象上，在x0部分(即y轴的右侧)，y=sinx的图象总是在直线y=x之下；在x0部分(即y轴的左侧)，y=sinx的图象则总是在直线y=x之上．而反函数y=arcsinx的图象与直线y=x的相对关系则相反．你在作图时务必注意这一特点． 　　(2)求反正弦函数函数值 　　既然 “arcsin”仅是一个函数记号，y=arcsinx没有表示为一个x的具体数学式，那么怎么求它的函数值呢？其实这个问题就是在第四章的 “已知三角函数函数值求角”问题，因此对[-1,1]中的任一x，你可以用计算器求得在[-,]的y．我们先复习一下． 例1　求下列反三角函数的函数值(保留4个有效数字)： (1)arcsin(-0.866)；　(2)arcsin； (3)arcsin； (4)arcsin． 解　用MODE键，把角度调成RAD (弧度制)状态，然后用计算器求角． 　　(1)按键顺序 0.866 +/- 2ndF sin –1 显示-1.047 146 746，所以 arcsin(-0.866)?-1.047 ▍ (2)按键顺序 3 ? ? 2 = 2ndF sin-1 ，显示1.047 197 551，所以 arcsin=