《2015必威体育精装版高中数学相关定理及证明.docVIP

高中数学相关定理、公式及结论证明 一、三角函数部分 1.正弦定理证明 内容：在中，分别为角的对边，则 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD， 根据锐角三角函数的定义，有。 由此，得 ，同理可得 ， 故有 . 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高， 交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义， 有， 。 由此，得 ，同理可得 故有 . （3）在中， ， 由(1)(2)（3）可知，在ABC中， 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心, 连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′， ∴sinC=sinB′=. ∴. 同理,可得.∴. 3.向量法证明正弦定理 同理 故有 . 2.余弦定理证明 内容：在中，分别为角的对边，则 证明：如图在中， 同理可证： 所以 3.两角和（差）的余弦公式证明 如图在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin） 则： 在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,-sin） 则： 4.两角和（差）的正弦公式证明 二、两角和（差）的正弦公式证明。 内容： 证明： 两角和（差）的正公式证明， 证明： 6．半角公式证明 内容： 证明：由二倍角公式 用代替，得，得 ， 7.诱导公式 公式： 如图： 设的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交 于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为 P′(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式。 公式： 它刻画了角180o+与角的正弦值（或余弦值） 之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线 为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或 圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即 180o+角的终边与单位圆的交点必为P′(-x，-y)（如图4-5-1）． 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x, sin(180o+)=-y, cos(180o+)=-x, 所以 :sin(180o+)=-sin，cos(180o+)=-cos． 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相应诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos（2kπ+α）=cosα k∈z 　tan（2kπ+α）=tanα k∈z 公式二：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanα公式三：sin（－α）=－sinα公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 　sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα 　tan（2π－α）=－tanα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 　sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα 　sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα 项和公式证明 内容：是等差数列，公差为，首项为，为其前项和，则 证明：由题意， ① 反过来可写为：② ①+②得：2 所以，③， 把代入③中，得 2．等比数列前项和公式证明 内容：是等比数列，公比为，首项为，为其前项和，则= 证明：① ② ①—②得：， 当时，③ 把代入③中，得 当时。很明显 所以，= 三.立体几何部分 1.三垂线定理及其逆定理 内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线