《不需要证明.docVIP

为什么“不需要证明” 摘 要：《义务教育数学课程标准》中对证明部分的要求，在于强调通过学生经历观察、实验、猜想等数学活动过程的学习方式，发展学生的合情推理能力和初步的演绎推理能力，能够有条理、清晰地阐述自己的观点，建立初步的符号感，发展抽象思维能力． 因而，我们只有以课标要求为出发点，才能通过对中考试题的研究，真正深入领会命题者的价值意图，从而准确进行中考复习的教学定位，有效提升备考的质量． 关键词：证法研究；内涵分析；反思教学 中考试题历来备受广大一线教师的重视，特别是最后的压轴题，一方面是因为它很大程度上直接影响到中考的成败，另一方面也是教师对自己考前在重要教学内容上的预判和把握的及时反思与调整，从而为下一届毕业班的数学教学工作找准方向和基点． 善于研究优秀的中考试题，不仅可以解读内涵的三维目标信息，更可以深刻领会命题者的价值意图，从而顺利实现与专家们的非接触性的深层次对话． 本文拟以两道“不需要证明”的中考压轴题为例，谈谈有关试题内涵解读中的一些思考． 对“不需要证明的证明”的剖析 1. 一个经典的解题模型 正方形bcgf和正方形cdhn，无论其中的一个正方形如何旋转变化，△bcn≌△gcd，线段bn，dg的关系始终不变，即bn=dg，bn⊥dg． 2. 变换视角下的多解剖析 试题1 【2009年河北卷第24题】在图2至图4中，点b是线段ac的中点，点d是线段ce的中点． 四边形bcgf和cdhn都是正方形． ae的中点是m． （1）如图2，点e在ac的延长线上，点n与点g重合时，点m与点c重合，求证：fm= mh，fm⊥mh； （2）将图2中的ce绕点c顺时针旋转一个锐角，得到图3，求证：△fmh是等腰直角三角形； （3）将图3中的ce缩短到图4的情况，△fmh还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由） 证法1：（从特殊到一般，类比问题（2）的证法，利用中位线定理，证明两个三角形全等）如图5，连结mb，md，如图，设fm与ac交于点p． 剖析：平移变换 △gcd利用中位线定理，实现△bcn平移至△mdh，?摇?摇?摇平移至△fbm． 所得两三角形关系与原三角形关系一致． 证法2（借助中点，再次利用中位线定理，证明两个三角形全等） 如图6，连结af，fc，ch，he，并延长线段af到p，使pf=af，延长线段eh到q，使qh=eh，连结线段pe，aq． 剖析：位似变换 以点c为位似中心，将△bcn放大2倍得△acq，将△gcd放大2倍得△pce，所得两三角形关系与原三角形关系一致． 证法3（借助中点，倍长中线，利用直角三角形的性质解决问题） 如图7，延长hm到q，使qm=hm，连结aq，he，hc，fa，fc． 剖析：旋转相似变换 以c点为中心，将△bcn顺时针旋转45°，并放大倍，得△fch． 以f点为中心，将△fbm逆时针旋转45°，并放大倍，得△faq． 由于△bcn与△fbm的关系等价于△bcn与△gcd的关系，因而△fch与△faq也必有同样的关系存在． 证法4（再一次利用中点，构造相似三角形） 如图10，连结af，fc，ch，he，ah，取线段fh，ah的中点o，p，连结线段op，pm． 剖析：旋转相似变换+位似变换 如证法3的剖析，在完成旋转相似变换之后，再利用取中点法，以点h为中心，将图6中的△faq缩小一半，化为图10中的△opm，从而将△fch与△faq之间的关系判断，转化为△fch与△opm之间的关系判断问题． 简评：综观以上的各种证法，我们不难看出，解法的实质都是以经典图形中的不变关系，即△bcn与△gcd之间的关系，来作为演绎的根源． 而各证法的差异性的外在表现，主要是由于各自最终选取的彼此等价的三角形载体的不同所产生的，而如何构造出形式、位置各异的三角形，需要较深的解题功底． 试题2 【2009年山东德州卷第23题】已知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作ef⊥bd交bc于f，连结df，g为df中点，连结eg，cg． （1）求证：eg=cg． （2）将图11中△bef绕b点逆时针旋转45°，如图12所示，取df中点g，连结eg，cg，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．?摇?摇 （3）将图11中△bef绕b点旋转任意角度，如图13所示，再连结相应的线段，（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 3. 证法评析 试题整体结构分析 证法剖析：在《一道“不要求证明”的中考题的证明》一文中，作者给出了两种证明，但只要对本题稍作变化，我们其实不难看出，这道题实质上同试题1完全相同，证法又何止两种呢？ 试题价值分析 按照《课程标准》的要求，这两道题都从初中毕业水平的考生所应形成的整体学习习惯、学习过程、学习结果来设计考题，注意