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不等式的证明 ——思维晋级之阶梯 西安高新第一中学 程霖 王海瑛 2006年月 不等式的证明——思维晋级之阶梯 西安高新第一中学 程霖 王海瑛 证明不等式没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多变，技巧性、综合性强．因此，不等式的证明是高中学生学习的一大难关，同时，它又是进入大学学习的不可缺少的技能，是联系函数、方程、数列等知识的纽带．所以，在不等式证明的教学中，如何能使之变为训练学生思维，培养学生能力的有力工具呢？ 当然，要做好不等式的证明题，首先必须熟练地掌握不等式的基本性质及重要不等式和它的变形形式．其次还应扎实地掌握不等式证明的常规方法，比如：比较法、综合法、分析法、换元法、放缩法、反证法、构造法等．除了这些，怎样才能有效培养学生解决不等式证明问题的能力呢？ 一、善于观察，寻找线索 多数学生在证明不等式中遇到的困难是，找不出解题的思路．比如： 例1 已知：是正实数，求证：． 我们在教学时，首先让学生明白，数学命题的产生不是孤立和偶然的，它必然与某些概念、性质、公理、定理之间存在某些联系，有其产生的背景．正如警察破案一样，题目中的蛛丝马迹可能正暗示着此题的证明思路与方法． 比如例1中，我们首先观察待证不等式的结构会发现：不等号左边是指数结构，右边是的算数平均数．从这一特征出发展开联想，我们学习的所有不等式证明方法中，有作商比较法常常用来处理指数结构的不等式，而如果直接用不等号左边除以右边是无法进行下去的，这又该怎么办呢？再想不等号右边是的算数平均数，这又暗示着什么呢？再结合不等号的方向，不难想到先用缩小不等号右边，再证明，而，从而不等号两边均为指数结构，此时使用作商比较法就成熟了，证明如下： ∵是正实数 ∴ (1)当时，∵，，由指数函数的性质可得： 成立； (2)当时，∵，， 成立； (3)当时，∵，，由指数函数的性质可得： 成立； 综上，． 二、熟悉模块，建立系统 学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，就会得出一些典型题目的解答模式或者考点，将这些模块化的东西有意识地记忆下来，并作有目的的简单编码，就像建筑中的预制构件一样，存放备用．当遇到一个新问题时，我们可以通过模式识别，实现“遇新思陈、推陈出新”． 例2 已知：且，求证的最小值为16． 容易想到，此题属于利用均值定理求最值的一个证明题．第一次模块识别比较容易．但如果对如何利用均值定理求最值这一模块不能准确掌握，就会导致本题的证明失败． 错解：∵，由均值定理可得， 即，而？出现问题． 产生以上问题的原因是什么呢？ 错解中，两次利用均值定理，第一次要取“＝”，需有，第二次要取“＝”，需有，两者不能同时成立． 产生此错误的根源在于，对使用均值定理的“一正，二定，三相等”的前提条件没准确掌握造成的． 因此，熟练、准确掌握解题模块，建立自己的解题系统是非常重要的． 正解：∵且， ∴． 当且仅当时，上式取“＝”． 又∵ 解得． 故的最小值为16． 三、发散、集中，培养能力 一个不等式的证明方法往往不唯一，而在这种种方法中往往又存在最简单的，因此通过不等式的证明培养学生的发散、集中思维，可以提高学生的数学思维能力． 高中数学第二册（上）第11页有不等式：，即均值的平方不大于平方的均值． 例3 证明：． 此不等式是一个重要的不等式，证法颇多，如综合法、分析法、比较法、反证法等．除此之外，若挖掘不等式的形式特征，联想相关知识，下举几种证法： 证法一： 分析：∵原不等式可化为：，可以联想到二次函数的判别式，从而可构造函数模型来证明． 证明：构造二次函数 ∵ ∴ 从而． 证法二： 分析：由结论的结构，可用三角换元法证明． 证明：令，即 不妨设， 则 故． 证法三： 分析：由结论中和结构，可用构造向量法． 证明：令，则，． 由向量不等式得： ∴ 即： 证法四： 分析：由结论中平方的结构，可利用勾股定理构造几何模型． 证明：如图，以长为（不妨设）的线段AB为直径作圆O，在直径AB上取点C，使AC＝，CB＝，过O作OF⊥AB交圆O于F，连结CF，则OC＝，OF＝． 由CF2＝OF2＋CO2可得： 显然，OFCF，即． 四、纵横驰骋，创编驾驭 在培养学生的思维能力时，如果对概念、定理、公式等进行多方位、多层次的变式，引导学生观察、分析、联想、类比、归纳、猜想、论证，从一个问题抓一类问题，从特殊问题抓一般问题，举一反三，触类旁通，那么学生就可以纵横驰骋，驾驭知识，达到较高境界． 例4 若，且，求证：． 本题证明比较简单，证明如下： ． 学好此题后，引导学生抓住命题的条件和结论，加以引申拓广． （1）若，且，求证：①；②；③． （2）若，且，求证：①；②；③． （3）若，且，求证：． （4）若，，求证：①；②；③；④． 在中学