《1数理统计基础.docVIP

1、数理统计基础 1.1 随机变量 1.1.1随机事件和概率 观测或试验的一种结果，称为一个事件。在一定条件下进行大量重复试验时，每次都发生的事件，称为必然事件（）；反之，每次都不发生的事件，称为不可能事件（）；有时发生有时不发生的事件，称为随机事件或偶然事件（）。 随机事件的特点是在一次观测或试验中，它可能出现，也可能不出现，但在大量重复观测或试验中呈现统计规律性。用来描述事件发生可能性大小的量就是概率。 概率的统计定义是：在相同条件下进行次重复试验，事件发生了次，称为事件的频数，称/为事件的频率。当足够大时，频率/稳定地趋向于某一个常数，此常数称为事件的概率，记为＝，即： ＝＝ （1.1） 即概率是频率的极限值。 由概率的定义可归纳出概率的三个基本性质： （1）必然事件的概率等于1，即=1； （2）不可能事件的概率等于0，即=0； （3）任何事件的概率都介于0和1之间，即0≤≤1。 小概率原理：当某一事件的概率非常接近于0时，说明这个事件在大量的试验中出现的概率非常小，这样的事件称为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次连续试验中出现的可能性很小，一般可以认为不会发生，此即为小概率原理。 概率的三个定理： （1）互补定理：某事件发生的概率与不发生的概率之和为1。当发生的概率为，则不发生的概率为1-。全部基本事件之和为必然事件。 （2）加法定理：相互独立而又互不相容的各个事件，其概率等于它们分别出现之和。例如，A1，A2，…An为相互独立而又互不相容的事件，其中任一事件出现的概率为各个事件概率的总和，即 P（A）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）= （1.2） （3）乘法定理：相互独立的事件同时发生的概率是这些事件各自发生的概率的乘积，即 P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）= （1.3） 1.1.2 随机变量与分布函数 每次试验的结果可以用一个变量的数值来表示，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量。 随机变量根据其取值的特征可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量试验结果的可能值可以一一列举出来，即随机变量可取的值是间断的、可数的。 连续型随机变量试验结果的可能值不能一一列举出来，即随机变量可取的值是连续充满在一个区间的。 随机变量是随机现象的数量化，可以用： = 表示某事件； （ =） 表示该事件出现的概率； （）=（ ＜）表示 ＜的概率，并定义为随机变量的概率分布函数，用来描述随机变量的统计规律。 连续型随机变量的分布函数的表达式为： ＝（＜）＝ （1.4） 式中, 称为随机变量的概率密度函数（或简称概率密度）。 正态分布是连续型随机变量最常见的一种分布。正态分布的概率密度函数和概率分布函数分别为： ＝ （1.5） ＝ （1.6） 以的取值为横坐标，以概率密度函数为纵坐标，正态分布的图象如图1.1所示。图中的曲线即为概率密度函数，积分区间内的曲线与横轴之间所包含的面积就是概率分布函数，亦即随机变量的概率。 图1.1 正态分布示意图 的图象具有如下性质： a、为随机变量一系列取值的中位值（或称均值），对称于直线＝，且＞0，曲线位于横轴的上方。它向左右无限延伸，并以横轴为渐近线。 b、当＝时，取最大值： 离越远越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，落在这个区间上的概率越小。 c、参数σ为曲线拐点的横坐标，其大小决定了正态曲线的形状特点，σ愈大曲线愈平缓，σ愈小曲线愈高陡。 可以看出，正态分布主要取决于和σ两个参数，称为随机变量的数学期望，σ2为随机变量的方差。 当随机变量服从正态分布时，常记作～（μ，σ2）。 如令随机变量t＝（x-μ）/σ，通过变量转换，可由一般正态分布推算得随机变量t的概率密度函数及相应的概率分布函数： ＝ （1.7） ＝ （1.8） 这种分布称为标准正态分布，是正态分布中＝0，σ2＝1的特例。当随机变量服从标准正态分布时，常记作～N（0，1）。 通常将t～制成数值表，称t为标准正态分布的分位数。如已知t，即可从表中查得相应的；反之，亦然。 标准正态分布与一般正态分布具有如下关系： ＝Φ