《1一元二次方程.docVIP

1 ? 1基本信息编辑 定义 一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程。[2] 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2。 方程形式 一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，此方程也就不是一元二次方程了。要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。 变形式 （a、b是实数，a≠0） （a、c是实数，a≠0） （a是实数，a≠0） 配方式 两根式 解（根）的意义 （1）一元二次方程的解（根）的意义：　　能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根[3]）。 （2）一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。 根的个数和判别式 利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系： ①当 时，方程有两个不相等的实数根； ②当 时，方程有两个相等的实数根； ③当 时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。 上述结论反过来也成立。 根与系数的关系 一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系： ， （也称韦达定理）。 由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：a[x2-(p+q)x+pq]=0（其中 ）。 2求根方法编辑 直接开平方法 形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法[1]解一元二次方程。 如果方程化成 的形式，那么可得 。 如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么 ，进而的出方程的根。　　注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。　　③方法是根据平方根的意义开平方。 配方法 将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法[1]。 用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。 配方法的理论依据是完全平方公式a2+b2±2ab=（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 例一：用配方法解方程 3x2－4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1： 方程两边都加上一次项系数一半的平方： 配方： 直接开平方得： ∴ , . ∴原方程的解为 , . 求根公式法 用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法[1]。 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出 的值，判断根的情况（若 ，则方程有2个不相等的复数根；若 ，则方程有两个不相等的实数根；若 ，则方程有两个相等实数根）； ③在 的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法。[1] 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学化归思想）。 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 计算机法 在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解 可以进行符号运算的程序，比如Mathemat