《3.5几个著名不等式.docVIP

几个著名不等式 3.5.1 算术－几何平均值不等式 教材：算术平均数与几何平均数 目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。 过程： 平均不等式在不等式理论中处于核心地位，AG不等式（算术平均-几何平均不等式）是Hardy等名著的三大主题之一（另两个主题是Holder不等式和Minkowski不等式）。 定理3.5.1：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件 定理3.5.2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”） 证明：∵ ∴ 即： 当且仅当时 注意：1．这个定理适用的范围： 2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 三、推广： 定理：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 证明1：∵ ∵ ∴上式≥0 从而 证明2： 指出：这里 ∵就不能保证 推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 证明： ，当且仅当a＝b＝c时取＝。 证完 四、关于“平均数”的概念 定义3.5.1．如果 则： 叫做这n个正数的算术平均数 叫做这n个正数的几何平均数 2．点题：算术平均数与几何平均数 定理3.5.3 基本不等式： ≥ 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明。 上述定理也可表述为： 设，则称为 的算术平均值，称为的几何平均值。 则：即：，称为AG不等式，仅当 时等号成立。 AG不等式是重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或将积的形式放大为和的形式，因此可以叙述成两个等价的共轭命题； （1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等时为最大，最大值为； （2）其积为T的n个正数之和，在这些数都相等时为最小，最小值为 因此，AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等。 AG不等式的证明： 早在公元前500多年前的毕达哥拉斯时代，就有了正数的算术平均和几何平均等概念，而是欧几里得证明的。1821年Cauchay对AG不等式用反向归纳法给出了一个精彩的证明。此后对AG不等式寻求各种不同的证法，一直是人们研究的一个热点。 证法1：用数学归纳法证明（分析法）： 从证，即要证 由，只要证 只需证明成立即可， 以上式子可以改写为（两端同除以）： 令，则上式变成 （*） 令 则 于是当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，即，所以（*）成立，从而命题成立。 证法2：数学归纳法（构造法） 1、当时，结论显然成立； 2、假设时结论也成立，即： 当时 由于该不等式关于是对称的，任意调动位置，，的值都不变，所以不妨假设： 显然，从而有， 故，展开可得 （*） 所以 即 两边同时乘以得 利用前面的（*）可得， 从而有，命题得证。 证法3：数学归纳法（构造法） 1、当时，结论显然成立； 2、假设时结论也成立，即： 当时 其中 故命题得证。 证法4：利用凸函数的Jensen不等式证明； 设是上的凸函数，，则 在其中取，代入则有 又由于函数是单调递增的，所以，原命题成立。 证明5： 利用不等式，得到，对于，有 n个式子相加可得 所以 所以，命题得证。 证明6： 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]： 由对称性不妨设 是 中最大的，由于 ， 设，则，并且有。 根据二项式定理， 于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。 推论3：由AG不等式，我们可以得出下面的一个不等式： 设，则 证明：证明很简单，直接利用AG不等式就可得出这个不等式。 也可利用数学归纳法证明，但是比较复杂。 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 4．的几何解释： 以为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DD’?AB 则 从而 而半径 五、例1、已知为两两不相等的实数，求证： 证：∵ 以上三式相加： ∴ 例2 P82 3.5.1 已知为两两不相等的实数， 求证： 证明：与推理1的证明中间步骤一样，利用均值不等式可得。 例3 P82 3.5.1 已知；，，， 求证：（1） （2