《浅谈函数的零点.docVIP

浅谈函数的零点 摘 要：本文探讨了：①利用函数与方程思想，通过解方程求函数的零点；②利用函数的零点存在性定理研究函数在某区间上零点的存在性; ③构造函数，数形结合，求解函数零点的个数; ④巧用函数的性质，求函数的零点。通过渗透数学思想方法，优化学生的思维策略，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 关键词：函数的零点、解方程、零点个数、数形结合、函数性质 函数的零点是高中新课标中新增内容，在教材中给出了具体的定义：“对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点，这样，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与X轴交点的横坐标，所以方程有实根函数的图象与x轴有交点函数有零点”（必修1.P87）有零点有2个方法： ① （代数法）求方程的实数根； ② （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 一：通过解方程，求函数的零点 例2在二次函数则其零点的个数 A．1 B. 2 C. 3 D.0 分析:二次函数对应方程中又因为,所以,即,则方程有2个不等的实根,对应的二次函数有2个零点.( B ) 二、利用零点存在性定理,判断函数在某区间是否存在零点 零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么，函数在区间（a,b）内有零点，即存在,使得,这个c就是方程的根。 例1．函数在下列区间是否存在零点？（ ） A．（-1，0） B.(-1,1) C.(1,2) D.(3,4) 分析：利用零点存在性定理分析，函数在所给出的四个区间中都不满足条件，但由函数的图象可知它有一个零点。 由此，可知零点存在性定理,是函数存在零点的充分不必要条件. 例2.判断函数在(-1,1)上是否存在零点? 分析:虽然,但是函数在(-1,1)上的图象不是连续的,不满足函数零点存在性定理的条件.由函数的图象可知,在(-1,1)上没有零点. 例3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 分析：显然函数在区间[2,3]上是连续函数，且,，则,所以由函数零点存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是（2，3），选B 因此,利用函数零点存在性定理判断函数在某区间是否存在零点,一定要满足定理的条件.另外, 函数零点存在性定理,是函数存在零点的充分不必要条件. 三、利用数形结合解决有关函数零点个数的问题 函数零点存在性定理,只能判断函数存在零点，但不能确定零点的个数.因此，我们利用函数的图象,求解. 例1.下列函数有2个零点的是( ) A B. C. D. 分析:做出对应的函数图象如图所示: ( D ) (A) (B) (C) (D) 例2. 已知函数,m,n是函数的两个零点(mn),则实数m,n,a,b,的大小关系是 分析: 设函数g(x)=(x-a)(x-b),则函数g(x)的零点是a,b;函数f(x)=(x-a)(x-b)-2是由g(x)向下平移2个单位得到，如图所示 即mabn 例3.求零点的个数。 分析：本题直接求解，无法下手，由函数的零点也是方程的根，即方程的解， 由方程的解与两函数图象交点的关系,可构 造函数、,如图所示,有三个交点 所以零点的个数有三个。 例4.求函数有几个零点. 分析: 函数的零点即方程的根, 即函数与函数有几个交点,如图所示: (1)当a0时,没有交点,函数没有零点; (2)当a=0或a4时,两函数有2个交点, 即函数有2个零点; (3)当0a4时,有4个交点,函数有4个零点; (4)当时,两函数有3个交点,有3个零点 . 四、利用函数的性质，求解有关函数的零点的问题 例1.已知函数是定义在上的奇函数,且在上有一个零点,则的零点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.无法确定. 分析:函数在上是奇函数,则.根据奇函数的性质可知,函数在上必有一个零点,则函数在R上总共有3个零点.(A) 例2.已知函数满足,且的所有零点之和为8则方程的实根个数为