《8.5解三角形专项一answer.docVIP

2013-2014学思教育高一数学解三角形专项一 1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 。 （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； （3）△＝＝＝； （4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径） （5）△＝； （6）△＝；； （7）△＝r·s。 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = π； （2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，a－b c，b－c a，c－a b； （3）边与角关系： 正弦定理 （R为外接圆半径）； 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA； 它们的变形形式有：a = 2R sinA，，。 5．三角形中的三角变换（1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 （3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。三角形内切圆的半径：，特别地，； 三角学中的射影定理：在△ABC 中，1.已知△中，，，，，则 （ ） A.． B ． C． D． 或 答案 C 2在中，，，，求的值和的面积。 解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 ① , ② 　 ①　+　②　得　　。 　 ①　－　②　得　　。 从而　。在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 答案? 2 解析 设由正弦定理得 由锐角得， 又，故， 在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解 （1）因为，，又由 得， （2）对于，又，或，由余弦定理得 ， 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b (1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又， ，即 由正弦定理得，故 ② 由①，②解得. 的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。 cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ； 当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。 点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。 在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解（Ⅰ） 又，，而，所以，所以的面积为： （Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠