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第六章 二次型 考试内容：二次型及其矩阵表示；合同变换与合同矩阵；二次型的秩、惯性定理、二次型的标准型和规范性；用正交变换和配方法化二次型为标准型；二次型及其矩阵的正定性。 考试要求：了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和矩阵合同的概念； 了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准型、规范性等概念；了解惯性定理；会用正交变换和配方法化二次型为标准型； 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别方法。 内容概要 一 基本概念 1 二次型的定义：关于元二次型，简称二次型 即 2 二次型的矩阵表示 将上述二次型表示成整齐的形式： 其中的矩阵。 3 二次型与对称矩阵之间的关系 一个二次型强调是对称矩阵，如果 而不能称为二次型的矩阵 例如 的矩阵，此时二次型. 4 线性变换 设有两组变量；其中 用矩阵表示为 称为称此线性替换为非退化的线性替换。 特别强调：1）在将二次型化为标准型时所用的线性替换必须是非退化的线性替换；2）在上面的两组变量的个数必须是一样多的。 例如：若中，如果令 其中的条件下是任意的。 5 线性替换前后的二次型矩阵之间的关系 将中，得到一个关于变量的二次型这里 这是因为：，根据二次型与对称矩阵一一对应关系便有： 二 二次型的标准型、规范型、及惯性定理 1 任何一个二次型通过配方的方法，一定可以化为标准型： 其中称为二次型的秩； 2 上述结果的矩阵表示（或用矩阵的语言）就是：设二次型为 一定存在一个非退化的线性替换使得 3 规范性 在上面标准型中，将系数为正的放在一起，系数为负的放在一起，不妨设： 这里进一步，再作一次非退化的线性替换 称为二次型的规范型。 4 惯性定理 任何一个二次型一定存在非退化的线性替换化为上述规范型；上面的称为二次型的正惯性指数，称为二次型称为符号差。在上面的规范型中，其正惯性指数是不变的。即如果用两种不同的非退化的线性替换将二次型化为规范型，则规范型中系数为正的平方项个数是不变的。此结论通常称为惯性定理。 强调指出：1）在二次型的标准型中，标准型不是唯一的；即使在化成标准型中，其形式是一致的，但所作的非退化的线性替换并不一定一致； 在标准型中平方项的个数是不变的。 二次型的规范型其形式是唯一的；但是在化为规范型中，所做的非退化的线性替换不是唯一的。 三 关于矩阵的合同 1 定义：设 则称矩阵是合同的。 2 合同的性质： ； 若合同；这就是说矩阵的合同关系具有对称关系； 若合同；这就是说，矩阵的合同关系具有传递性； 若矩阵合同的必要条件；即如果则一定不合同；但是反之不成立。 若可逆，且一定合同。 3 关于实对称矩阵 一定与对角矩阵合同，即存在可逆矩阵 存在可逆矩阵使得： 存在正交矩阵： 其中 四 化二次型为标准型的方法 配方法（基本方法）； 正交变换方法； 是对称矩阵，由上面的3），令，可得 其中 五 正交二次型及其正定矩阵 1 定义：对任意一个不为0的实向量，则称二次型是正定二次型。此时的矩阵称为正定矩阵。 2 正定二次型的标准型、规范型 标准型： 其中 规范型： 3 正定矩阵判别的充要条件 正惯性指数； 的特征值全为正数； 与单位阵合同；即存在可逆阵使得： ； 4 关于正定矩阵常用的结论 若 因为根据条件知道对任意的, 若则 因而 的特征值，是正定矩阵，由此可知 若是正定矩阵； 因为根据定义，对于 但反之不成立； 上述结论，则矩阵。 常见题型 题型一 化二次型为标准型 例1 将二次型化为标准型，并求二次型的秩 解 如果做线性替换，那么 表面上看上述结果是对的，实际上是错误的。 这是因为从而因此上述的线性替换不是非退化的。 正确解法：（1） 做线性替换的任意的数。为使所作的线性替换较为简单，只要作线性替换： 即可。 正交变换的方法：上述二次型的矩阵为 其特征值特征向量是： 对应于的单位特征向量 令 从而。 题型二 含有参数的二次型问题 例1 设化为 求。 解：因为相似，因而有相同的特征多项式；又 例2 已知二次型，通过正交变换化成标准型：，求参数及其所用的正交变换矩阵。 解 二次型，其特征多项式为： 另一方面，由 的根，因此；由此可求得对应于特征值 将上述三个向量单位化： 令,在此正交变换下二次型标准型为： 题型三 有关正定二次型及其正定矩阵 例1 设有 其中为实数，试问当为何值时上述二次型为正定二次型。 解：有条件知： 其中 因为是正定二次型，故对于，从而对