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泰勒公式 牛菲菲 20101105098 数学科学学院 数学与应用数学10级汉2 指导老师 套格图桑 摘 要 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解 关键词 泰勒公式 极限 函数不等式 函数方程 一、Taylor公式简介 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒微积分学中将函数展开成无穷级数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有即 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具它可以用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面，我们要找到一个在指定点附近与很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式， 即 (1.1) 公式表明，在点附近的函数值可以用的一次多项式近似表示，且当（此时是无穷小），所产生的误差为较高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于的次多项式 (1.2) 来近似表示，并使当时，其误差是较高阶的无穷小。要想这样，那么多项式的系数，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数来确定，并且可以从前面的(1.1)式得到启发，我们把， 与一次多项式， 对照一下，可知应该取， 而的这两个数值可以由等式， 分别求得。事实上， 由此不难推想，为了确定次多项式的全部系数，我们应该假定在点附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件： (1.3) 由(1.2)计算在点的各阶导数值，代入上面等式(1.3)，得 ， 即 ， 代入(1.2)式则得 (1.4) 这就是我们找的关于的n次多项式，称为在点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以在点的各阶导数表出的。 （二）Taylor公式的定理 定理1.1（泰勒定理） 如果函数在点的附近有直到n+1阶的导数，则对于点附近的，可表示为的n次多项式与余项的和 (1.5) 其中 （在与之间）定理中的(1.5)式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。 当时，泰勒公式(1.5)式变为，这就是拉格朗日中值公式。可见泰勒公式是拉格朗日公式的推广。在泰勒公式(1.5)式中，令，则得 (1.6) 其中 （在与之间）公式(1.6)是在原点的泰勒公式，也称为麦克劳林(Maclaurin)公式 二、Taylor公式的证明 （一）证明Taylor公式 定理2.1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数在点存在直至阶导数，则有，即 证明：设 ，，现在只要证由可知，， 并易知因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达（LHospital）法则次，得到 所以定理2.1成立。 定理2.2：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得证明：作辅助函数，所以要证明的（1）式即 不妨设，则与在上连续，在内可导，且 又因，所以由柯西中值定理证得其中所以定理2.2成立 Taylor公式的应用 （一）利用Taylor公式求极限 （二）利用Taylor公式判断函数的极值 例1设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,. (i)若,则在取得极大值.(ii) 若,则在取得极小值. 证明 ： 由条件，可得f在处的二阶泰勒公式 . 由于,因此.(*) 又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有,即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值. （三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性 例2 广义积分的敛散性. 解 ： 因此，，即是的阶，而收敛，故收敛，从而。 （四）利用Taylor公式证明中值定理 例3设函数在上三阶可导，试证：存在，使 。 证明 ： 设为使下式成立的实数： 令 ，则。 根据罗尔定理，使，即 而将在展开有： 。 其中，比较得，其中。 （五）Taylor公式在关于界的估计的应用 例4设函数在上二阶可导，当时，， 。